《2006安徽初赛一题》变式——化平几为立几

isee

虽是变式，却是经典竞赛陈题。

题目：在正方形$ABCD$的边$BC$，$CD$上分别取点$M$，$N$，使$BM=CN$.
         $AM$，$AN$将对角线$BD$分为三条线段$BE,EF,FD$.
证明：这三条线段一定能组成三角形，且这个三角形有一个角为$60^\circ$.

其妙

回复 1# isee
你在kk的第1版里也写过这个正方形的多种关联题。找不到链接了

isee

回复  isee
你在kk的第1版里也写过这个正方形的多种关联题。找不到链接了
其妙 发表于 2013-9-27 14:19

   

那是45度角，和这个关系倒是不大

不过，这题看来着手点也很难的

kuing

那是45度角，和这个关系倒是不大

不过，这题看来着手点也很难的 ...
isee 发表于 2013-9-29 13:50

论着手的话不难吧，至少从代数方面想就很简单，不妨设正方形边长为 $1$，由比例易得
\[\frac{BE}{\sqrt2-BE}+\frac{DF}{\sqrt2-DF}=1,\]
去分母整理得
\[2\sqrt2(BE+DF)=2+3BE\cdot DF,\]
于是
\begin{align*}
EF^2&=\bigl(\sqrt2-BE-DF\bigr)^2 \\
&=2+BE^2+DF^2-2\sqrt2(BE+DF)+2BE\cdot DF \\
&=2+BE^2+DF^2-(2+3BE\cdot DF)+2BE\cdot DF \\
&=BE^2+DF^2-BE\cdot DF.
\end{align*}

几何方法可能难些，我还没想到。

isee

论着手的话不难吧，至少从代数方面想就很简单，不妨设正方形边长为 $1$，由比例易得
\[\frac{BE}{\sqrt2-B ...
kuing 发表于 2013-9-29 14:24

不错不错，好解好解，还是难的。

几何法的话，那个60度，我肯定搞不定

isee

把这帖结掉，4楼的证明其实非常厉害，特别指出那个60度角。

一般情况下，当E是AM上的任意点，F是AN上的任意点，BE，EF，FD均可构成三角形，纯几何证法是旋转。

具体这里略去。

isee

下面的证法，出自单墫老师：

很早以前录的，这里就不转换成latex代码了

kuing

回复 7# isee

太华丽了！
PS、既然出自单墫，最好将最后一行“by ...”去掉，或者改成“录入 by ...”

isee

回复 8# kuing


   

换了，以前也见过Ceva还是Menelaus等将平几化成立几的 几个例子，不过，现在只记得这个了

Tesla35

超赞。我上高中时也记得好像有个什么题是把平几改成立几作更简单

史嘉

精彩！