一道数列题（寻找高中阶段证法）

等待hxh

战巡

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看看这样吧：

由于显然$0<\frac{1}{x_{n+1}}<1-\ln(x_n)$，可知$x_n<e$，所以$x_n$存在上界是显然的，不妨设这个上确界为$k$，有$x_n\le k, 0<k\le e$
于是：
\[\ln(x_n)<1-\frac{1}{x_{n+1}}<1-\frac{1}{k}\]
\[x_n<e^{1-\frac{1}{k}}\]
这时由于$k$是$x_n$的上确界，必须保证$e^{1-\frac{1}{k}}\ge k$，否则新的上确界就是$e^{1-\frac{1}{k}}$而不是$k$了

而不难证明$e^{1-\frac{1}{k}}\ge k$只有唯一解$k=1$
于是有$x_n\le 1$，但显然等号取不到，因此只能$x_n<1$

等待hxh

能用上确界，那也就能用极限， 高中阶段学生没学过所谓的上确界，能否方法更初等连上确界都不用

战巡

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上确界只是一个概念，劳资是用惯了一时改不了口
按高中生的写法无非就是“令满足$x_n\le M$的$M$的最小值为$k$”
没什么难理解的

realnumber

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    你看到的借用高等数学的解决办法是什么？

realnumber

考察函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{x},$,容易得（0，1）递减，（1，+∞）递增
且$f(x)_{min}=f(1)=1$
因此有
\[\ln x_n+\frac{1}{x_{n+1}}<1\le \ln x_n+\frac{1}{x_n}\]
可得\[x_n<x_{n+1}\],即数列{$x_n$}单调递增.
假设某一$m=n_0$开始有$x_{n_0}> 1$
这与以下无穷组（只需要选足够多组即可，假定$\ln x_m+\frac{1}{x_{m}}=1+ε，ε是个给定的正数，很小也没关系，那么t>m时，有\ln x_t+\frac{1}{x_{t}}>1+ε$）
\[\ln x_m+\frac{1}{x_{m+1}}<1\]
\[\ln x_{m+1}+\frac{1}{x_{m+2}}<1\]
\[\ln x_{m+2}+\frac{1}{x_{m+3}}<1\]
\[......\]
以上k组和，
可得(k-1)(1+ε)<左边<右边=k,只要k足够大，总会矛盾.

等待hxh

你这方法好，高中生都能接受的方法

战巡

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动用极限，还不是高数的思维
我真是不明白你是怎么判断的，上确界这个简单的概念我就不信高中生理解不了！

等待hxh

上确界、极限这些高中生当然能理解，但考试又不能直接用

战巡

回复 9# 等待hxh


谁说不能直接用？劳资高中考试的时候中值定理、泰勒展开、zeta函数都照用不误，从没扣过分

6楼还不是照样动极限？
你看上去没有而已，实际上是完完全全的极限概念、定义和思想

等待hxh

但是我们这考试扣分，而且扣的很严重，（每个地方要求不一样）

爪机专用

珍爱生命，远离考试。

realnumber

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    en，是这样.连字母ε都有意没改.

caijinzhi

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谁说不能直接用？劳资高中考试的时候中值定理、泰勒展开、zeta函数都照用不误，从没扣过 ...
战巡 发表于 2014-12-2 15:05

数学其实不分高等初等 能好地解决问题的数学就是好数学。