重重根号的上限

isee

证明：对任意大于$1$的自然数$n$，有\[\displaystyle\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4 \sqrt{\cdots \sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}}}<3\]

Tesla35

单墫趣味100题：
第18题：
Hint：
$$\sqrt{(n-1)\sqrt{n}}<\sqrt{(n-1)(n+1)}<n$$
以下递推到第一项即可。

isee

回复 2# Tesla35

啧啧，出处都被你发现了

其妙

回复  Tesla35
啧啧，出处都被你发现了
isee 发表于 2013-9-27 12:31

他是搜神的嘛，尤其是数列

kuing

翻个老帖……给个加强……

首先由于左边关于 `n` 递增，所以直接考虑其极限好了，记其极限值为 `T`，即
\[T=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt\cdots}}}=2^{1/2}3^{1/4}4^{1/8}\cdots,\]
取对数得
\[S=\ln T=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{2^{n-1}},\]
然后用错位相减技术
\[2S=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{2^{n-2}}=\ln2+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln(n+1)}{2^{n-1}},\]
相减得
\[S=\ln2+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln(n+1)-\ln n}{2^{n-1}}=\ln2+\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{2^{n-1}}\ln\left( 1+\frac1n \right), \quad(*)\]
由于 `\ln(1+1/n)<1/n`，则
\[S<\ln2+\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{2^{n-1}n}=3\ln2-1,\]
从而
\[T<e^{3\ln2-1}=\frac8e,\]
显然 `e>8/3`，所以此结果强于原题，具体来说 `8/e\approx2.943`。

kuing

用 `\ln(1+1/n)<1/n` 看来还是太弱，结果只强了一丁点，下面换个更强的试试。

因为当 `x>1` 时
\[\ln x<\frac12\left( x-\frac1x \right),\]
由此得到
\[\ln\left( 1+\frac1n \right)<\frac12\left( \frac1n+\frac1{n+1} \right),\]
代入式 (*) 中，就有
\[S<\ln2+\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{2^n}\left( \frac1n+\frac1{n+1} \right),\]
然后用点求和小技巧（注意下标的变化）有
\begin{align*}
\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{2^n}\left( \frac1n+\frac1{n+1} \right)
&=\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{2^nn}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac1{2^{n-1}n}\\
&=\frac18+\sum_{n=3}^{\infty}\left( \frac1{2^nn}+\frac1{2^{n-1}n} \right)\\
&=\frac18+\sum_{n=3}^{\infty}\frac3{2^nn}\\
&=-\frac74+\sum_{n=1}^{\infty}\frac3{2^nn}\\
&=-\frac74+3\ln2,
\end{align*}
所以
\[S<4\ln2-\frac74,\]
即
\[T<e^{4\ln2-7/4}=\frac{16}{e^{7/4}}\approx2.780383,\]
总算强了不少

其妙

这里有一个连根式的，不过根号内是加号，楼主根号内是乘号
关于连根式性质的一些研究笔录（拉马努金恒等式等）：
mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==& … 17&lang=zh_CN#rd

其妙

回复 7# 其妙
这里的链接就是根号内是乘积的连根式，好像做了加强？：
一道连根式不等式的证明（关联拉马努金恒等式）：
mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==& … 17&lang=zh_CN#rd