组合计数

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集合{1,2,...,2015}的含有1和2015且含有元素个数相同、元素和相等的两个不同子集A、B一共多少组？（不区别顺序）（注：{1,2,2015}与{3，2013,2}、{1,2012,8，1000}与{2015,2,4,1000}都是满足要求的）

kuing

集合{1,2,...,2015}的含有1和2015且含有元素个数相同、元素和相等的两个不同子集A、B一共多少组？（不区别顺序）（注：{1,2,2015}与{3，2013,2}、{1,2012,8，1000}与{2015,2,4,1000}都是满足要求的）
957683999 发表于 2014-10-31 12:14

题目读不懂，又说“含有1和2015”那为什么{3,2013,2}也满足要求？

957683999

含1和2015包括A、B同时含1和2015，也包括一个含1但另一个含2015，也包括只有一个含1和2015，但另一个两个不含！总之指一组集合(A,B)含1和2015.特此解释！

kuing

已

战巡

回复 1# 957683999


都不知道楼主哪来这么多乱七八糟的题目
我估计大部分都是自己编的吧

我建议你首先解决一个问题：
从集合$\{1,2,...,n\}$中取出$k$个数，使得其和为给定常数$a$，有多少种取法

kuing

回复 5# 战巡

你能看懂题？那用数学语言重新把题目表达一下，我语文跟不上，读来读去都不懂

战巡

回复 6# kuing

大概意思就是说.....
求这样的集合对$A,B$，要满足：
$A,B$元素一样多
$A,B$元素总和相等
$A\cup B$里面包含$1,2015$两元素

不过好像没说$A\cap B$是不是空集
而且最蛋疼的就是这个总和相等，我们连一个相对简化的问题（就是5楼我提出的那个）都解决不了

kuing

回复 7# 战巡

这样就清晰多了

不过也未必一定要解决那个简化问题，因为求的是总个数，说不定可以搞个递推神马的。当然我还没仔细想……

957683999

已知集合 A，B 是集合 $I=\{1,2, \cdots, 2015\}$ 的两个不同子集，如果满足： （1） $\operatorname{card}(A)=\operatorname{card}(B),(2) \sum_{x \in A} x=\sum_{x \in B} x$ ，则称 $(A, B)$ 是集合 I 的一个等和子集对（注： $(A, B)$ 与 $(B, A)$ 不加区分），求集合 I 的所有等和子集对个数．

解：一般化即已知 n 是不小于 4 的正整数，$(A, B)$ 是集合 $I=\{1,2, \cdots, n\}$ 的一个等和子集对，集合 I 的所有等和子集对个数为 $f(n)$ ，本题即求 $f(2015)$
$\{1,2,3, \cdots, n, n+1\}$ 的等和子集对分三类：不含 $n+1$ 的，不含 $1$ 的，既含 1 又含 $n+1$ 的
（1）$\{1,2,3,\cdots, n, n+1\}$ 中不含 $n+1$ 的等和子集对均为 $\{1,2,3, \cdots,n\}$ 的等和子集对，反过来 $\{1,2,3,\cdots, n\}$ 的等和子集对等和子集对也是 $\{1,2,3,\cdots n, n+1\}$ 中不含 $n+1$ 的等和子集对，共计 $f(n)$ 个；
（2）$\{1,2,3,\cdots, n, n+1\}$ 中 1 不含 1 的等和子集对即集合 $\{2,3,\cdots, n, n+1\}$的等和子集对，而把集合 $\{2,3,\cdots, n, n+1\}$ 的每一个等和子集对的元素均减去 1 即得到 $\{1,2,3, \cdots, n\}$ 的一个等和子集对，反之集合 $\{1,2,3,\cdots, n\}$的每一个等和子集对的元素均增加 1 就得到了集合 $\{2,3,\cdots, n, n+1\}$ 的一个等和子集对，故 $\{1,2,3,\cdots, n, n+1\}$ 中 1 不含 1 的等和子集对共计 $f(n)$个；
（3）$\{1,2,3, \cdots, n, n+1\}$ 中既不含 $n+1$ 也不含 1 的等和子集对就是 $\{2,3,\cdots, n\}$ 的等和子集对，与集合 $\{1,2,3,\cdots, n-2, n-1\}$ 的等和子集对一一对应，共计 $f(n-1)$ 个
（4）$\{1,2,3,\cdots, n, n+1\}$ 中不含 $n+1$ 的既含 1 又含 $n+1$ 的等和子集对的计数如下：

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本问题特别希望高手能予解决了！