人教群聊记录之 $\bm a=\lambda\bm b+\mu\bm c$

kuing

鲁P教师冯(3152*****)  14:47:51
这是2013年广东文的第10题，请问第三个是否正确？


[省略一段]

粤A爱好者kuing  15:29:41
那道向量题好像我以前也解析过……
粤A-爱好者-战巡(3705*****)  15:30:24
烦shi高中的几何向量了
以后向量全只玩线代里面的
粤A爱好者kuing  15:32:26

粤A爱好者kuing  15:33:12

以前画的……
就是那个小圆始终去不到 a 那里
粤A-爱好者-战巡(3705*****)  15:33:39
居然还能找到
粤A爱好者kuing  15:33:59
也不是很久，一年多以前的
琼C爱好者林<wayne********com>  15:38:18
还是图较于好理解
粤A爱好者kuing  15:38:42
我还看到了当时的聊天记录，我的解释最终对方并没有理解……
琼C爱好者林<wayne********com>  15:39:03
文字的玩意，转来转去都不晓得它描述的是啥
粤A-爱好者-战巡(3705*****)  15:39:06
好像柯西也挺容易的
粤A-爱好者-战巡(3705*****)  15:40:47
||a||^2=(λb+μc)^2<=2(λ^2+μ^2)，一旦||a||^2>2μ^2就没戏了
粤A爱好者kuing  15:41:27

粤A爱好者kuing  15:50:05
不用柯西也行
用二次函数
鲁P教师冯(3152*****)  15:54:05
好的，有点明白了，谢谢kuing
闽H学生大羊系(2845*)  15:54:32
明白还带点的。。

[省略一段有错的]

粤A爱好者kuing  15:57:58

这样才对
这也符合那个几何意义了
也就是 u 小于 a 端点到 b 上直线的距离的时候就不存在

代码存档：
设给定的 $\bm b$ 与 $\bm a$ 所成夹角为 $\langle\bm a,\bm b\rangle=\theta$，假设存在 $\mu\bm c=\bm a-\lambda\bm b$，则两边平方有
\[\mu^2=(\bm a-\lambda\bm b)^2=\abs{\bm a}^2-2\lambda\abs{\bm a}\cos\theta+\lambda^2=\abs{\bm a}^2\sin^2\theta+(\abs{\bm a}\cos \theta-\lambda)^2,\]
故此如果给定的 $\mu$ 满足 $\mu^2<\abs{\bm a}^2\sin^2\theta$，就不存在 $\lambda$。