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广州数学欧阳(1220******) 12:59:43
2012•福建模拟）设函数f（x）及其导函数f'（x）都是定义在R上的函数，则“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”是“∀x∈R，|f'（x）|＜1”的（ ）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
广州数学欧阳(1220******) 12:59:59
这道题目大伙给个意见
$p$：$\forall x_1$, $x_2\in\Bbb R$，且 $x_1\ne x_2$，$\abs{f(x_1)-f(x_2)}<\abs{x_1-x_2}$；
$q$：$\forall x\in\Bbb R$，$\abs{f'(x)}<1$。
$q \riff p$：不妨设 $x_1<x_2$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(x_1,x_2)$ 使得
\[\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f'(\xi),\]
故当 $q$ 成立时，有
\[\left|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|=\abs{f'(\xi)}<1,\]
所以 $\abs{f(x_1)-f(x_2)}<\abs{x_1-x_2}$，即 $p$ 成立；
然而，$p \nRightarrow q$：若 $f(x)=\sin x$，熟知当 $x\ne0$ 时 $\abs{\sin x}<\abs x$，故当 $x_1\ne x_2$ 时
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)}=\abs{\sin x_1-\sin x_2}
=\left|2\cos\frac{x_1+x_2}2\sin\frac{x_1-x_2}2\right|
\leqslant 2\left|\sin\frac{x_1-x_2}2\right|
<2\left|\frac{x_1-x_2}2\right|
=\abs{x_1-x_2},\]
可见 $f(x)=\sin x$ 满足 $p$，但是 $f'(0)=1$，不满足 $q$，故此 $p \nRightarrow q$。
所以选B。
这道题其实是要告诉我们，拉格朗日中值定理的“逆”是不成立的。通俗来说就是在可导函数下，给出割线，必存在与之平行的切线，但是反过来，给出切线，未必存在与之平行的割线。
同时也提醒我们，对于一些条件为 $\abs{f(x_1)-f(x_2)}<k\abs{x_1-x_2}$ 恒成立求参数范围之类的题，如果直接转化为导数，则可能会产生“增解”或“漏解”。 |
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其妙
Posted 2014-11-11 22:45
，还可以构造函数$g(x)=f(x)-x,h(x)=f(x)+x$？
