复多项式问题

957683999

设 $z=\cos \frac{2 \pi}{2011}+i \sin \frac{2 \pi}{2011}$，且复多项式
$$
P(x)=x^{2008}+3 x^{2007}+6 x^{2000}+\cdots+\frac{2008 \cdot 2009}{2} x+\frac{2009 \cdot 2010}{2}
$$
其中 $x$ 是复数，求 $P(z) P(z^2) P(z^3) \cdots P(z^{2010})$ 的值

战巡

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这个不难
首先易证$z=\cos(\frac{2\pi}{2011})+i\sin(\frac{2\pi}{2011})$为方程$x^{2011}=1$的一个解，也显然$z^i, i=1,2,...,2010$都为这个方程的解，最后一个解显然就是$x=1$

又易证：
\[P(x)=\frac{-4038090+8080198x-4042110x^2+2x^{2011}}{2(x-1)^3}\]
由于带入$z^i$的时候，不管$i\in\{1,2,...,2010\}$里哪个$i$，都有$(z^i)^{2011}=1$
于是化简时这一项就不用管了，这个在带入$z^i$的时候一概等价于：
\[P(z^i)=\frac{-4038090+8080198x-4042110x^2+2}{2(x-1)^3}=\frac{2011(1005z^i-1004)}{(z^i-1)^2}\]

于是易证：
\[\prod_{i=1}^{2010}P(z^i)=\frac{2011^{2010}(1005^{2010}+1004^{2010})}{2^2}\]