请解一个不定方程

957683999

解不定方程 $5 x+4 y+3 z+2 u+v=1010(x, y, z, u, v \inN_+)$

战巡

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不知道楼主出题的时候有没有想过这样的问题有没有意义

解这个不定方程？！你知道有多少组解么？全列出来保证让你写死！
要是说求这个方程有多少组解那还还有戏，要是求全部的解具体是什么，只能丢给电脑去做

求解的组数的话
\[5x+4y+3z+2u+v=x+(x+y)+(x+y+z)+(x+y+z+u)+(x+y+z+u+v)\]
换元后就变成
\[a+b+c+d+e=1010, 0<a<b<c<d<e\]
这个你就慢慢去解吧，先用隔板求出可以相等的情况，再容斥原理踢掉相等的情况，我是懒得算了，5个数太烦

tommywong

$\displaystyle \frac{x^{15}}{(1-x^5)(1-x^4)(1-x^3)(1-x^2)(1-x)}$

$\displaystyle =\frac{x^{15}(1+x^5+...+x^{55})(1+x^4+...+x^{56})(1+x^3+...+x^{57})(1+x^2+...+x^{58})(1+x+...+x^{59})}{(1-x^{60})^5}$

$\displaystyle =(1+x^5+...+x^{55})(1+x^4+...+x^{56})(1+x^3+...+x^{57})(1+x^2+...+x^{58})(1+x+...+x^{59})\sum_{k=0}^{\infty} C_{k+4}^4 x^{60k+15}$

$x^{1010}$的系数是$30C_{16}^4+12320C_{17}^4+61885C_{18}^4+32650C_{19}^4+1115C_{20}^4$

爪机专用

跟这个类似 forum.php?mod=viewthread&tid=2225

其妙

回复 3# tommywong
母函数大神