来自人教群的数列FAQ及变式

kuing

粤A爱好者华(2875*****)  18:22:26
请问两个数列怎么放缩

第一个是FAQ，递推式倒数列项得
\[\frac1{a_n+1}=\frac1{a_n}-\frac1{a_{n+1}},\]
剩下就不说了。

下面简单写写那个变式。
由递推式得
\[a_{n+1}\leqslant a_n-a_n^2=a_n(1-a_n),\]
由正数列知对任意 $n\in\mbb N^+$ 恒有 $0<a_n<1$，上式倒数得
\[\frac1{a_{n+1}}\geqslant \frac1{a_n(1-a_n)}=\frac1{a_n}+\frac1{1-a_n},\]
故
\[\frac1{a_n}\geqslant \frac1{a_1}+\frac1{1-a_1}+\frac1{1-a_2}+\cdots +\frac1{1-a_{n-1}}>n,\]
即得证。

kuing

回复 1# kuing

其实当 $n\geqslant2$ 时还可以得到 $a_n\leqslant1/(n+2)$。

当然也可以用数归。

其妙

回复 2# kuing
这里有详细过程吧：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102uxpo.html