来自人教群的又玩超越零点不等式

kuing

教师-星变(1664****)  13:44:19

请教此题的第二问

求导得
\[f'(x)=\left( 2\ln x-1+\frac ax \right)\frac{(x-a)}{\ln^2x},\]
令
\[g(x)=2\ln x-1+\frac ax,\]
求导易知 $g(x)$ 先减后增，而
\[g(a)=2\ln a<0,\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty,\]
因此 $g(x)$ 在 $(0,a)$ 和 $(a,+\infty)$ 上各有一零点，由此可见 $x_2=a$ 且 $x_1$, $x_3$ 就是 $g(x)$ 的两个零点，由此可得
\[x_1-2x_1\ln x_1=x_3-2x_3\ln x_3=a,\]
为方便书写，令 $b=\sqrt e\cdot x_1$, $c=\sqrt e\cdot x_3$，则 $b<c$，代入上式中可化简为
\[b-b\ln b=c-c\ln c=\frac{\sqrt e}2a,\]
而要证明的就变成
\[b+c>2.\]

令 $h(x)=x-x\ln x$，求导得 $h'(x)=-\ln x$，唯一极小值点为 $x=1$，故由 $h(b)=h(c)$ 且 $b<c$ 可知必有 $b<1<c$，又易证
\[
h(x)
\led
&<-\frac{x^2}2+x+\frac12,&& 0<x<1,\\
&>-\frac{x^2}2+x+\frac12,&& x>1,
\endled
\]
所以
\[-\frac{b^2}2+b+\frac12>h(b)=h(c)>-\frac{c^2}2+c+\frac12,\]
得到
\[\frac12(c-b)(b+c-2)>0,\]
即得证。

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Edit in 2015-1-13

kuing

事实上我们还可以给出另一边，有
\[x_1+x_3>\frac2{\sqrt e}>2\sqrt{x_1x_3}.\]

为方便书写，令 $x_1=1/t$, $x_2=1/u$，则
\begin{align*}
at&=1+2\ln t, \\
au&=1+2\ln u,
\end{align*}
故
\[a=\frac{2\ln t-2\ln u}{t-u},\]
于是
\begin{align*}
\frac2{\sqrt e}>2\sqrt{x_1x_3}&\iff tu>e \\
&\iff \ln t+\ln u>1 \\
&\iff \frac{at-1}2+\frac{au-1}2>1 \\
&\iff a(t+u)>4 \\
&\iff \frac{t+u}2>\frac{t-u}{\ln t-\ln u},
\end{align*}
此乃算术—对数平均值不等式。

kuing

回复 2# kuing

刚才在人教群也写了一个类似于楼上这种的，还更简单些：

最后的是 几何—对数平均值不等式。

kuing

刚才发现原先1#写错了，后面的反了向，已改正。