数列和上界

guanmo1

如图

战巡

回复 1# guanmo1


上界？这玩意哪有什么上界，明摆着不收敛的

如果你想要一个函数版本的上界，那多了去了，至少规定一个形式吧？
如果你想求近似值，那倒是比较简单

可以证明：
\[n-\frac{1}{2}\ln(n)<\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{k+1}}<n-\frac{1}{2}\ln(\frac{n+1}{2})\]
而且前者近似效果相当不错

kuing

回复 2# 战巡

积分放缩咩？

战巡

回复 3# kuing


右边是积分弄出来的，左边......
说实话，最早我是想设法求这个东西的级数展开的，不过原式难以求和，只能两头放缩用夹逼，就得到这个东西是$n-\frac{1}{2}\ln(n)+o(\frac{1}{n})$，而且下一项是负的...

但这个$o(\frac{1}{n})$的系数还没法求......因为这时两边的极限不等了尼玛...

guanmo1

证明的话，不用定积分，初等方法能否证明？无论是将左右两个式子看作Sn，求出an，比较通项大小，还是用数学归纳法，都避免不了一个函数不等式哎，好像不好搞，请指教。

战巡

回复 5# guanmo1

初等方法，每次都要初等方法！
明明问的是个高等问题，你特么非要初等方法！

这就好比你手头有重炮有导弹，可你的上级却非要你用大刀长矛攻陷眼前钢筋混凝土的堡垒
简直就是胡闹！