来自人教群的添上两数码成完全平方数

kuing

沪爱好者丁俊毅(8947*****)  0:11:20
求教

沪爱好者丁俊毅(8947*****)  0:15:26
这是初中题

设 $A=n(n+1)$, $n\in\Bbb N^+$，注意到
\[100n(n+1)=(10n)^2+2\cdot10n\cdot5=(10n+5)^2-25,\]
所以只要添上 $25$ 就行。

假设 $A>12$ 时还能添上另一个数 $x$（$0\leqslant x\leqslant 99$, $x\ne 25$）使
\[100n(n+1)+x=m^2,\]
其中 $m\in\Bbb N$, $m\ne10n+5$，将其与 $100n(n+1)+25=(10n+5)^2$ 作差得
\[\abs{x-25}=\abs{(m+10n+5)(m-10n-5)},\]
由 $A>12$ 知 $n\geqslant 4$，故
\[m\geqslant \sqrt{2000}>44 \riff m\geqslant 45,\]
因而
\[\abs{x-25}=\abs{(m+10n+5)(m-10n-5)}\geqslant m+10n+5\geqslant 45+40+5=90,\]
这与 $0\leqslant x\leqslant 99$ 相矛盾，所以当 $A>12$ 时只能添 $25$。

Tesla35

完全平方数。马克