请教一个指数不等式题

等待hxh

kuing

旧版论坛有扯过 kkkkuingggg.haotui.com/thread-868-1-1.html

战巡

回复 1# 等待hxh


开发一种新方法：

这个等价于证明：
\[\sum_{i=0}^n\frac{n^i}{i!}e^{-n}>\frac{1}{2}\]
\[P(X\le n)>\frac{1}{2}, X\sim POI(n)\]
而对于$P(X\le m)=\frac{1}{2}$的这个$m$，显然就是泊松分布的中位数
对于泊松分布，可知其偏度(Skewness)为：
\[E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]=E[(\frac{X-n}{\sqrt{n}})^3]=\sum_{i=0}^\infty (\frac{i-n}{\sqrt{n}})^3\frac{n^i}{i!}e^{-n}=\frac{1}{\sqrt{n}}>0\]
因此泊松分布为正偏分布，而且由于泊松是单峰分布，就有其均值$n$是大于中位数$m$，因此有
\[P(X\le n)>P(X\le m)=\frac{1}{2}\]

又显然当$n\to \infty$时，有偏度趋于0，也就是中位数趋于均值
因此
\[\lim_{n\to \infty}P(X\le n)=\frac{1}{2}\]

kuing

高科技，只能潜了