一道圆锥曲线

longzaifei

如图，已知椭圆 $W: \frac{x^2}6+\frac{y^2}2=1$ 的左焦点为 $F(-2, 0)$，过点 $M(-3,0)$ 作一条斜率大于 0 的直线 $l$ 与椭圆 $W$ 交于 $A,B$，延长 $B F$ 交椭圆 $W$ 于点 $C$．
若 $\angle M A C=60^{\circ}$，求直线 $l$ 的斜率．

kuing

由（1）知 $M$ 正好是左准线与 $x$ 轴的交点，作出左准线，过 $A$, $B$ 分别作左准线的垂线，垂足分别为 $A'$, $B'$，连结 $FA$, $MC$，如图所示。

由椭圆第二定义知
\[\frac{FA}{FB}=\frac{AA'}{BB'}=\frac{MA}{MB},\]
可知 $FM$ 是 $\triangle FAB$ 的外角平分线，由此可见 $FA$ 与 $FB$ 的斜率相反，所以 $AC$ 必然与 $x$ 轴垂直，再由 $\angle MAC=60\du$ 即得 $\triangle MAC$ 为等边三角形，所以 $MA$ 的斜率为 $\tan30\du$。

longzaifei

谢谢kuing！！！