要求用基本不等式

realnumber

已知实数x,y满足$x^2+xy+y^2=3$，则x+2y的最大值为           .
判别式法知道的。
同事要求用基本不等式，不会。

realnumber

设x+2y=t,x=t-2y消去x得
\[3(y-\frac{t}{2})^2+\frac{t^2}{4}=3\ge\frac{t^2}{4}\]
\[t\le2\sqrt{3}\]
在$x=0,y=\sqrt{3}$取等号.
不知道怎么修改成基本不等式的办法

战巡

回复 1# realnumber

换元$x=p-q,y=p+q$，之后就可以柯西了

kuing

设实数 $\lambda$ 满足 $2\lambda^2-2\lambda=1$，则
\begin{align*}
\frac{x+2y}2&=\frac{\lambda x+y+(1-\lambda)x+y}2 \\
& \leqslant \sqrt{\frac{(\lambda x+y)^2+\bigl((1-\lambda)x+y\bigr)^2}2} \\
& =\sqrt{\frac{2\lambda^2-2\lambda+1}2x^2+xy+y^2} \\
& =\sqrt{x^2+xy+y^2},
\end{align*}
取等略。

v6mm131

齐次化后 居然连均值都可以不用 $\frac{(a+2b)^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^2+4ab+4b^2}{a^2+ab+b^2}$
情形1：$a=0,b^2=3,a+2b\leqslant 2\sqrt{3}$
情形2：$a\ne0$$\frac{(a+2b)^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^2+4ab+4b^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{1+\frac{4b}{a}+\frac{4b^2}{a^2}}{1+\frac{b}{a}+\frac{b^2}{a^2}}$
令$\frac{b}{a}=t$ 上式可化为
$\frac{1+4t+4t^2}{1+t+t^2}=4-\frac{3}{1+t+t^2}<4$
$a+2b< 2\sqrt{3}$

v6mm131

From the given condition,it can be written as
$\frac{(a-b)^2}{4}+\frac{3(a+b)^2}{4}=3$
By Cauchy-Schwarz inequality ，we have
$12=(1+3)\times (\frac{(b-a)^2}{4}+\frac{3(a+b)^2}{4})\geqslant (a+2b)^2$

爪机专用

这种二次型最值早被玩烂啦

Tesla35

回复 7# 爪机专用


    渣

其妙

这种二次型最值早被玩烂啦
爪机专用 发表于 2015-1-7 08:59