一道代数题目

longzaifei

已知实数 $a,b,c$满足$abc=-1,a+b+c=4$,$\dfrac{a}{a^2-3a-1}+\dfrac{b}{b^2-3b-1}+\dfrac{c}{c^2-3c-1}=1$,
求$ a^2+b^2+c^2 $的值。

战巡

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\[\frac{a}{a^2-3a-1}=\frac{a}{a^2-3a+abc}=\frac{1}{a-3+bc}=\frac{1}{4-b-c-3+bc}=\frac{1}{(b-1)(c-1)}\]
同理得其他两项，于是：
\[\frac{a}{a^2-3a-1}+\frac{b}{b^2-3b-1}+\frac{c}{c^2-3c-1}=\frac{1}{(b-1)(c-1)}+\frac{1}{(a-1)(c-1)}+\frac{1}{(a-1)(b-1)}=1\]
\[a+b+c-3=(a-1)(b-1)(c-1)\]
\[abc-(ab+ac+bc)+a+b+c-1=1\]
\[ab+ac+bc=1\]
\[a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=14\]

longzaifei

谢谢战巡！！

Tesla35

初中竞赛的题目

longzaifei

是的！！