Find K

v6mm131

已知实数$a,b,c,k$满足$\frac{a}{b+c}=\frac{2b}{c+a}=\frac{3c}{a+b}=k$ 求$k$的值

kuing

显然 $a+b+c=0$ 不满足等式，故设 $a+b+c=m\ne0$，令 $a=mx$, $b=my$, $c=mz$，则 $x+y+z=1$，那么
\begin{align*}
\frac a{b+c}=\frac{2b}{c+a}=\frac{3c}{a+b}=k
&\iff \frac x{y+z}=\frac{2y}{z+x}=\frac{3z}{x+y}=k \\
&\iff \frac x{1-x}=\frac{2y}{1-y}=\frac{3z}{1-z}=k,
\end{align*}
解得
\[x=\frac k{k+1},y=\frac k{k+2},z=\frac k{k+3}, \]
所以
\[\frac k{k+1}+\frac k{k+2}+\frac k{k+3}=1,\]
去分母得
\[k^3+3k^2-3=0.\]

abababa

回复 3# kuing
这个最终解是什么呢？我用软件解这个方程，最后有一个根是$-1+2\cos\frac{\pi}{9}$，是不是方程有什么巧妙的解法呢？或者原题开始就能用三角换元之类的？

战巡

回复 4# abababa


请自己百度卡当公式

kuing

回复 4# abababa

令 $k=t-1$ 消去二次项，化为 $t^3-3t-1=0$，然后代《数学憋间》总第5期P30三角的那个公式，就可以得到 $k$ 的三个解为
\[k_1=-1 + 2\cos\frac\pi9, k_2=-1 - 2\cos\frac{4\pi}9, k_3=-1 - 2\cos\frac{2\pi}9.\]

kuing

噢，其实也可以干脆令 $k=2u-1$ 得
\[4u^3-3u=\frac12,\]
易见 $u\in[-1,1]$，令 $u=\cos\theta$ 则由三倍角公式得
\[\cos3\theta=\frac12,\]
下略。

abababa

谢谢，我明白了，消去二次项以后关键是把系数比变成$-\frac{4}{3}$，然后用三倍角公式，正好常数项是特殊角的三角函数值