函数零点不等式

等待hxh

已知 $x_1 \ln x_1=x_2 \ln x_2,\left(x_1<x_2\right)$ ，求证：下列问题
（1）$\frac{2}{e}<x_1+x_2<1$ ；
（2） $1<\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}<\frac{2}{\sqrt{e}}$
（3）若 $x_1^\gamma+x_2^\gamma>1$ 恒成立，求 $r$ 的取值范围；（第三问所求范围为0<r<=ln2,但做的比较繁，寻找简要证法）

kuing

凡求简单证法的，将你认为繁的方法贴上来，以免重复劳动。

weigang99888

回复 1# 等待hxh
利用单峰函数的广义对称证明（1）和（2）比较容易

weigang99888

回复 1# 等待hxh
刚加入论坛的

游客

令 $f(x)=\frac{\ln (e+x)}{e+x}-\frac{\ln (e-x)}{e-x}(0 \leq x<e)$, 则:
\[
\begin{aligned}
& f'(x)=\frac{1-\ln (e+x)}{(e+x)^2}+\frac{1-\ln (e-x)}{(e-x)^2} \\
& =\frac{\left(e^2+x^2\right)\left[2-\ln \left(e^2-x^2\right)\right]+2 e x \ln \frac{e+x}{e-x}}{\left(e^2-x^2\right)^2}>0 .
\end{aligned}
\]
算晕了。大学里的简单作业题，
放在这用中学数学方法做？