请教一道平几题

渔舟

已知在钝角三角形ABC中，∠B为钝角，AB=5，BC=6，点T为三角形ABC内的一点，且∠BTC为直角，∠BAT=∠BCT，
求点T到AC边中点M的距离。

战巡

回复 1# 渔舟


令$D$为$BC$中点，连$TD,MD$
显然$MD∥AB$，$∠MDC=∠ABC=∠ABT+∠CBT=180\du-∠BAT-∠BTA+90\du-∠BCT$
而$∠BMT=2∠BCT$
因此有
\[∠TDM=180\du-∠BMT-∠BCT=∠BTA-90\du\]
于是有
\[\cos∠TDM=\sin∠BTA\]
而根据正弦定理，有：
\[\frac{BT}{\sin∠BAT}=\frac{AB}{\sin∠BTA}\]
其中
\[\sin∠BAT=\sin∠BCT=\frac{BT}{BC}=\frac{BT}{6}\]
因此
\[\frac{AB}{\sin∠BTA}=6\]
\[\sin∠BTA=\frac{5}{6}=\cos∠TDM\]
另一方面显然$TD=\frac{1}{2}BC=3,TM=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
加上余弦值可知$TM⊥DM$，有$TM=\frac{\sqrt{11}}{2}$

渔舟

战巡兄，这个方法我看明白了，问一下可不可以用初中的知识解决，是一个初三的奥赛题。

战巡

回复 3# 渔舟


你知道我一向不会拘泥于什么初中高中这些限制的，只要能解决问题，什么方法都照用不误

所以别说是竞赛题，就是普通题，若是考试我也这样照写

爪机专用

看了下，只不过是用了正弦定理而已，而我印象中正弦定理就曾出现于初中课本的课后习题中，推导很容易。再说玩奥赛题的这些也应该知道

Tesla35

回复 5# 爪机专用


    你第二遍说这话了：“而我印象中正弦定理就曾出现于初中课本的课后习题中，推导很容易”

其妙

正弦定理就曾出现于初中课本的课后习题中，推导很容易
的确容易，搞一个外接圆，连接直径，直角三角形就出来了，正弦定理就出来了

kuing

回复 6# Tesla35

近期是第二遍，如果以前也算，那就更多了……

渔舟

那我就给他讲下三角的知识，多谢啊

kuing

回复 6# Tesla35

我念初中那时候的课本找不到了，只好在群文件里找到旧的初中教材，1989年的，初级中学课本，几何第二册，果然有该习题，在162页，居然都有辅助线提示图了，更加没难度了

Tesla35

回复 10# kuing


    我知道这个版本的课本里有。但是我上学时（比你早一两年的版本教材），当时也是几何代数分开讲。但那时开始可能就没有这题了。当时初中没讲钝角三角函数是什么东东

战巡

回复 11# Tesla35


就知道局限于初中，当考试的走狗

爪机专用

Tesla35

回复 12# 战巡


    你看代数基本定理等牛逼的定理自从有了第一个证明之后人们不也是乐忠于寻找更加初等的证明嘛。
杀鸡不用牛刀也是一种乐趣

Tesla35

回复 13# 爪机专用


    渣

战巡

回复 14# Tesla35


乐毛趣！劳资就喜欢杀鸡用牛刀，看泰山压卵，以绝对优势完胜，这才是乐趣

子曰下雪了

轴反射后，四点共圆，勾股，中位线定理

xfstone

isee

回复 17# 子曰下雪了


    还以为是乌贼呢，原来是新人，欢迎欢迎。

isee

回复 18# xfstone


    17楼的具体过程， 大虾常来哟。