求通项公式

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已知：
（1）\[ b_k=\frac{2k-5}{3-4k} b_{k-1}\]
（2）\[ b_k=\frac{7+4k}{8k}b_{k-1} \]
分别求\[ b_k=??b_0 \]

爪机专用

除了直接连乘还能怎样？

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回复 2# 爪机专用

关键就是写不出表达式啊。。又不能用阶乘表示 哎

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算了算了...只能写成连乘式了。。

战巡

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\[\frac{b_n}{b_1}=\prod_{k=1}^n\frac{2k-5}{3-4k}=3(-2)^{-n}\frac{\Gamma(\frac{5}{4})\Gamma(n-\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(n+\frac{1}{4})}\]

\[\frac{b_n}{b_1}=\prod_{k=1}^n\frac{7+4k}{8k}=2^{-n}\frac{\Gamma(n+\frac{11}{4})}{\Gamma(\frac{11}{4})\Gamma(n+1)}=2^{-n}\frac{\Gamma(n+\frac{11}{4})}{n\Gamma(\frac{11}{4})\Gamma(n)}=\frac{2^{-n}}{nB(n,\frac{11}{4})}\]

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\[\frac{b_n}{b_1}=\prod_{k=1}^n\frac{2k-5}{3-4k}=3(-2)^{-n}\frac{\Gamma(\frac{5 ...
战巡 发表于 2015-1-27 02:38

除了知道那个叫Gamma函数外就完全傻逼了...    两式子的第二个等号之间你跳了多少步骤啊.....能不能把过程稍微写详细点。。。

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回复 5# 战巡


左边应该是$ \dfrac{b_n}{b_0} $哇

战巡

回复 6# ╰☆ヾo.海x


\[\prod_{k=1}^n(pk+q)=p^n\prod_{k=1}^n(k+\frac{q}{p})=p^n·\frac{\Gamma(\frac{q}{p}+1)}{\Gamma(\frac{q}{p}+1)}\prod_{k=1}^n(k+\frac{q}{p})\]
\[=\frac{p^n}{\Gamma(\frac{q}{p}+1)}·\Gamma(\frac{q}{p}+1)(1+\frac{q}{p})(2+\frac{q}{p})...(n+\frac{q}{p})\]
\[=\frac{p^n}{\Gamma(\frac{q}{p}+1)}·\Gamma(\frac{q}{p}+2)(2+\frac{q}{p})...(n+\frac{q}{p})\]
\[=...\]
\[=\frac{p^n}{\Gamma(\frac{q}{p}+1)}·\Gamma(\frac{q}{p}+n+1)\]

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回复 5# 战巡

终于都弄懂了... 好强大！
原来 $ \Gamma（t+1)=t\Gamma(t) $ 这个函数方程那么重要...
谢谢！

其妙

是不是积分的时候，得到的积分得递推关系？