韦达定理的证明-想不通了，如下

realnumber

不去管求根的那个证明，

证明二：方程两边同时除以$x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}=0 \cdots \cdots$(1)
$\because\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$
展开得 $x^2-\left(x_1+x_2\right) x+x_1 x_2=0$．
$\therefore$ 对照式子（1）与（2），得 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2=\frac{c}{a}\ldots$(2)

来自：
zh.wikipedia.org/wiki/韦达定理

为什么(1)(2)系数必定相等（最高次都是1的情况下）？

Tesla35

他用了因式定理啊。

isee

方法很多，仅就初中教材而言，就有至少可以用求根公式，也可以代数式恒等变形。

isee

哦，我说的文不对题，汗一下。

realnumber

回复 4# isee

没关系，继续...

realnumber

回复 2# Tesla35


    也是哦，有没不需要这个定理，并推广到3次什么的，比如
直接根据$ax_1^2+bx_1+c=0,ax_2^2+bx_2+c=0,x_1>x_2$,得出韦达，三次这么做的话，似乎不好处理.

LLLYSL

对于两个多项式 $\begin{aligned} & F(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+\cdots+a_n \\ & G(x)=x^n+b_1 x^{n-1}+b_2 x^{n-2}+\cdots+b_n\end{aligned}$ 如果有 $F(x)=G(x)$ 的话，那么一定有 $a_i=b_i(i=1,2, \cdots, n)$ 。理由很简单，首先这种很基本的问题得明确一些概念，上面写的 $F(x)=G(x)$ 实际上应该理解为 $F(x) \equiv G(x)$ 恒等于。然后我们做一个代数变形
\[
F(x)-G(x) \equiv \sum_{i=1}^n\left(a_i-b_i\right) x^{n-i} \equiv 0
\]
注意到等式右边实际上是一个常数 0，而左边是一个关于 $x$ 的函数，要使得这两个式子恒等，只能所有系数等于零，否则反证法可以得出矛盾。

其妙

回复 7# LLLYSL
对的，那是恒等于。$a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2+bx+c$对任何$x$都恒成立。