证明偶函数，只得到奇函数

goft

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 都是定义在 $R$ 上的不恒为零的函数，并且满足 $\forall x, y \inR$ ，都有 $f(x-y)=f(x) g(y)-f(y) g(x)$ ，求证：函数 $g(x)$ 是偶函数。

goft

题目是不是条件不足，另一题如下：
已知在 $R$ 上可导的非常数函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足：对任意的实数 $x, y$ 都有 $f(x+y)=f(x) f(y)-g(x) g(y), \quad g(x+y)=f(x) g(y)+g(x) f(y)$
且 $f'(0)=0$ ，求证 $f^2(x)+g^2(x)=1$

kuing

回复 2# goft

这个另一题，有了可导，条件充足就好做好多了。

两式的两边均对 $y$ 求导有
\begin{align*}
f'(x+y)&=f(x)f'(y)-g(x)g'(y),\\
g'(x+y)&=f(x)g'(y)+g(x)f'(y),
\end{align*}
令 $y=0$ 得
\begin{align*}
f'(x)&=-g'(0)g(x),\\
g'(x)&=g'(0)f(x),
\end{align*}
显然 $g'(0)\ne0$ 否则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为常数，故
\begin{align*}
f''(x)&=-g'(0)g'(x)=-(g'(0))^2f(x),\\
g''(x)&=g'(0)f'(x)=-(g'(0))^2g(x),
\end{align*}
记 $\abs{g'(0)}=c>0$，即
\begin{align*}
f''(x)+c^2f(x)&=0,\\
g''(x)+c^2g(x)&=0,
\end{align*}
解这个微分方程得
\begin{align*}
f(x)&=C_1\cos(cx)+C_2\sin(cx),\\
g(x)&=C_3\cos(cx)+C_4\sin(cx),
\end{align*}
下略……

爪机专用

回复 3# kuing
剩下的应该很容易了，没想错的话可以确定C1=1, C2=C3=0, C4=±1水饺

战巡

回复 1# goft


是奇函数没错啊，题目有问题

明摆着原型就是正弦和双曲正弦嘛，两个都是奇函数

令$y=0$可得
\[f(x)=f(x)g(0)-f(0)g(x)\]
令$x=0,y=x$可得
\[f(-x)=f(0)g(x)-f(x)g(0)=-f(x)\]

abababa

回复 5# 战巡
$f(x)$是奇函数好证，但是题里问的是$g(x)$的性质。
三楼的证明我觉得也有问题，用到了二阶导数，但是没说导数也连续，那就不一定二阶可导了。
哦我明白了，原来是用到$g(x)$可导的性质，这样$f(x)$就二阶可导了。

goft

学习了，谢谢大家帮忙

kuing

回复 7# goft

1楼的问题还没解决啊