一条三元不等式

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设$a,b,c$是非负实数，证明：$\frac{a(b+c-a)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a-b)}{b^2+ac}+\frac{c(a+b-c)}{c^2+ab}\geqslant 0$

kuing

睡不着觉，起来撸道题……

显然如果 $a$, $b$, $c$ 能构成三角形三边则不等式显然成立，当 $a$, $b$, $c$ 不能构成三角形三边时，由对称性不妨设 $a\geqslant b+c$，则
\begin{align*}
\sum\frac{a(b+c-a)}{a^2+bc}
&=\frac{a(b+c-a)}{a^2+bc}
+\frac{ab+bc+ca}{b^2+ca}+\frac{ab+bc+ca}{c^2+ab}-2\\
&\geqslant \frac{b+c-a}a+\frac{4(ab+bc+ca)}{b^2+ca+c^2+ab}-2\\
&\geqslant \frac{b+c-a}a+\frac{4(ab+ca)}{(b+c)^2+ca+ab}-2\\
&=\frac{a+b+c}a+\frac{4a}{a+b+c}-4\\
&\geqslant 0,
\end{align*}
即得证。

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奈斯

其妙

看来不对称也美？
不等式以“对称美”而横贯天下，吸引了一大批爱好者！

kuing

回复 4# 其妙

哪里不对称了？

其妙

回复 5# kuing
题目是对称的；
证法似乎不是对称证明 方法

睡仙

哈哈无需什么三角形什么个东西，CS直接二行搞定

其妙

牛笔！
欢迎县长！，