求三角范围

longzaifei

在锐角三角形$ABC$ 中，求\[  \cos A \cos B +  \cos B \cos C +  \cos C \cos A -2 \cos A \cos B \cos C   \]的取值范围

kuing

记 $f=\cos A \cos B +  \cos B \cos C +  \cos C \cos A -2 \cos A \cos B \cos C$。

由于一定存在一个不小于$60\du$的内角，由对称性不妨设 $A\geqslant 60\du$，则 $2\cos A\leqslant 1$，故
\[f=\cos A(\cos B+\cos C)+\cos B\cos C(1-2\cos A)>0,\]
而当 $A=B\to90\du$ 时 $f\to0$，所以 $f$ 的下确界为 $0$。

由积化和差与和差化积公式有
\begin{align*}
f&=2\cos A\cos \frac{B-C}2\cos \frac{B+C}2+\frac{\cos (B-C)+\cos (B+C)}2(1-2\cos A) \\
& \leqslant 2\cos A\sin \frac A2+\frac{1-\cos A}2(1-2\cos A) \\
& =-\frac12\cos A\left( 2\sin \frac A2-1 \right)^2+\frac12 \\
& \leqslant \frac12,
\end{align*}
当 $A=B=C=60\du$ 时 $f=1/2$，所以 $f$ 的最大值为 $1/2$。

综上，由连续性知 $f$ 的取值范围为 $(0,1/2]$。

kuing

最大值另解：
$f$ 如上所设，由锐角三角形可设 $b^2+c^2-a^2=2x$, $c^2+a^2-b^2=2y$, $a^2+b^2-c^2=2z$，则 $x$, $y$, $z>0$，代入余弦定理中得到
\begin{align*}
f&=\sum\frac{xy}{(x+y)\sqrt{(y+z)(z+x)}}-\frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \\
& =\frac{\sum xy\sqrt{(y+z)(z+x)}-2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \\
& \leqslant \frac{\sum xy\frac{x+y+2z}2-2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \\
& =\frac12,
\end{align*}
当且仅当 $x=y=z$ 时取等。

longzaifei

谢谢kuing！