来自人教群的椭圆线段比之差为定值

kuing

粤A学生呆呆(1120******) 2015-2-13 11:46:28

第二问
一问答案

这里就不验算第一问的答案了，先假设 $x^2/9+y^2=1$ 是正确的。
由于拉伸不改变 $\lambda$, $\mu$，所以可以沿 $y$ 轴方向将椭圆拉伸为圆，如图，过原点 $O$ 作 $OD\perp MN$，则易证 $NQ-MQ=2DQ$。

由条件易得 $\vv{RQ}=(\lambda +1)\vv{MQ}=(\mu +1)\vv{NQ}$，则由射影定理及相交弦定理有
\begin{align*}
\lambda +\mu &=\lambda +1+\mu +1-2 \\
& =-\frac{RQ}{MQ}+\frac{RQ}{NQ}-2 \\
& =-\frac{RQ(NQ-MQ)}{MQ\cdot NQ}-2 \\
& =-\frac{2RQ\cdot DQ}{MQ\cdot NQ}-2 \\
& =-\frac{2OQ^2}{AQ\cdot BQ}-2,
\end{align*}
显然为定值，即得证。