解三角形,有没别的法子说明舍去和存在

realnumber

三角形ABC中，$3\sin A+4\cos  B=6$且$3\cos A+4\sin B=1$,求C.



（注意，平方和后，解得$\sin C$，题目有陷阱，要舍去一个根，如何舍去，如何说明另一个根存在，是个问题.
比如存在性，用零点存在定理说明的.利用平方和等于1，以及上面两方程，消去$\cos B ,\sin A ,\sin B,$看作$\cos A$的函数，A在[$90\du$,$120\du$]）有解.这些不好给高一普通学生说.

realnumber

同事王##做的：

其妙

没有草稿纸，

isee

回复 3# 其妙

我给你~

isee

两式平方后，相加得到：

\[\sin (A+B)=\dfrac 12=\sin C \Rightarrow C=\cdots\]

这时，若$A+B=\dfrac {\mathrm\pi} 6$，则
\[0<A<\dfrac {\mathrm \pi} 6 \Rightarrow 3\cos A>\dfrac {3\sqrt 3}2>1 \]

这与第二式矛盾，舍。

从而 $C=\dfrac {\mathrm \pi} 6.$

wzxsjz

回复 5# isee


    这时，若A+B=π3，则

wzxsjz

回复 5# isee


    这时，若A+B=$        \frac{\pi}{3}，$?

isee

回复 7# wzxsjz


   30度，全打错了，我改改去