某网友问的一道有意思的不等式5cosA+6cosB+7cosC=9

kuing

LLL*** 20:58:32
在么

这题咋搞？
kuing  21:08:14
我现在没空，晚点再搞吧
或者你上论坛问着，我有空再搞
LLL*** 21:09:00
好
kuing  1:41:34
证到了
LLL*** 2:08:01
咋弄
均值吗
kuing  2:09:47
切线

有意思的地方在于，条件的系数和要证的次数看上去都像是随手写的，玩下来才发现并不是，出题的真高手。

题目：在 $\triangle ABC$ 中，$5\cos A+6\cos B+7\cos C=9$，求证
\[
\sin^2\frac A2+\sin^3\frac B2+\sin^4\frac C2\geqslant \frac7{16}.
\]

证明：熟知 $\cos A+\cos B+\cos C\leqslant 3/2$，故由条件得
\[9=6(\cos A+\cos B+\cos C)+\cos C-\cos A\leqslant 9+\cos C-\cos A,\]
得到
\[\cos C\geqslant \cos A.\]

下面证明
\begin{align}
\sin^2\frac A2&=\frac{8-8\cos A}{16},\notag \\
\sin^3\frac B2&\geqslant \frac{5-6\cos B}{16}, \label{20150307LLLs2} \\
\sin^4\frac C2&\geqslant \frac{3-4\cos C}{16}, \label{20150307LLLs3}
\end{align}
对于式 \eqref{20150307LLLs2}，如果 $\cos B\geqslant 5/6$，则显然成立，而当 $\cos B<5/6$ 时，由两倍角公式可知其等价于
\[\left( \frac{1-\cos B}2 \right)^3\geqslant \left( \frac{5-6\cos B}{16} \right)^2 \iff \frac1{32}(2\cos B-1)^2\left(\frac78-\cos B\right)\geqslant 0,\]
显然成立，故式 \eqref{20150307LLLs2} 得证；

对于式 \eqref{20150307LLLs3}，由两倍角公式可知其等价于
\[\left( \frac{1-\cos C}2 \right)^2\geqslant \frac{3-4\cos C}{16} \iff \frac1{16}(2\cos C-1)^2\geqslant 0,\]
显然成立，故式 \eqref{20150307LLLs3} 得证。

综上即有
\begin{align*}
\sin^2\frac A2+\sin^3\frac B2+\sin^4\frac C2&\geqslant \frac{8+5+3-8\cos A-6\cos B-4\cos C}{16} \\
& \geqslant \frac{16-8\cos A-6\cos B-4\cos C+2(\cos A-\cos C)}{16} \\
& =\frac{16-6(\cos A+\cos B+\cos C)}{16} \\
& \geqslant \frac7{16},
\end{align*}
等号成立当且仅当三角形为正三角形。

又可以用作切线法题材了

kuing

事实上，条件可以改为 $\cos C\geqslant \cos A$。

其妙

有意思的地方在于，条件的系数和要证的次数看上去都像是随手写的，玩下来才发现并不是，出题的真高手。

...
kuing 发表于 2015-3-7 02:13

出题的是高手，你解题的也是真高手呀！

kuing

回复 3# 其妙

但是出题比解题难得多

hbghlyj

该页面被一个知乎回答引用.

原文如下

13题的不等式的链接在这里：

某网友问的一道有意思的不等式5cosA+6cosB+7cosC=9 - 初等数学讨论 - 悠闲数学娱乐论坛(第2版) - Powered by Discuz!

你让考生做这种问题，考试只有两个小时，考生能得几分呢？考试的话一个直接目的就是为了得分，你这让考生难以得分，甚至一分都没法得，你说你，命题人先生是否恶毒呢？