函数

lrh2006

已知函数f(x)=(x+a)(|x-a|+|x-4|)，其图像是中心对称图形，求a的值

战巡

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中心对称图像的那个中心点肯定是二阶导数为0的点，或是不可导点
那就看看这个函数二阶导数啥情况
首先看不可导点，明显就$x=a,x=4$两个，带进去，很容易发现都是没戏的
\[f''(x)=2sign(x-a)+2sign(x-4)=0\]
可知当$\min\{a,4\}<x<\max\{a,4\}$时都成立
而显然中心对称点必须是其中点，也就是$\frac{a+4}{2}$

那么就有
\[f(\frac{a+4}{2}+x)+f(\frac{a+4}{2}-x)=2f(\frac{a+4}{2})\]
\[\frac{1}{2}(3a+4)[2\abs{a-4}-\abs{a-4-x}-\abs{a-4+x}]=0\]
\[a=-\frac{4}{3}\]

lrh2006

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    高大上，高中生表示看不懂。能用高中知识解决吗？

战巡

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有用到任何高中以外的东西么？哪个你没学过？导数你敢说没学过？

lrh2006

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    含绝对值不知道怎么导而且不懂为什么中心对称图像的那个中心点肯定是二阶导数为0的点，或是不可导点

战巡

回复 5# lrh2006


对称中心二阶导数为0是很显然的，参考三次函数的图像

绝对值求导要么你拆开两边分别求导，要么令
\[\abs{x}=\sqrt{x^2}\]
然后求导
反正很容易

lrh2006

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    嗯，好像有点懂了，谢谢！

hjfmhh

绝对值求导要么你拆开两边分别求导,是什么意思

lrh2006

回复 2# 战巡


    (1/2)(3a+4)[2∣a−4∣−∣a−4−x∣−∣a−4+x∣]=0,请问这条式子怎么来的，我化不出来诶

其妙

用中心对称的结论可以吧，然后再取特殊值，解方程组（可能有点辛苦）