一道不等式

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已知实数x,y,满足x>y>0,且x+y$\leqslant $2,则$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}$的最小值为

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可由$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}$$\geqslant $（$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}$）($\frac{x+y}{2}$)算出答案，但是否可以画图发现y-x值当x+y=2时都可取，并且若使$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}$最小，即x+3y最大即可，显然x+y=2时，x+3y最大，从而直接令x+y=2做？

kuing

由 $x>y>0$, $x+y\leqslant 2$ 可知存在 $x'>y'>0$, $t\in(0,1]$ 使 $x=tx'$, $y=ty'$ 且 $x'+y'=2$，代入得
\[\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}=\frac1t\left(\frac{2}{x'+3y'}+\frac{1}{x'-y'}\right)\geqslant\frac{2}{x'+3y'}+\frac{1}{x'-y'},\]
这就表明只需解决 $x+y=2$ 的情形即可。

kuing

另外，你的公式输入可以改进一些，你的代码中

可由\$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}\$\$\geqslant \$（\$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}\$）(\$\frac{x+y}{2}\$)算出答案

中间那些 \$ 是不需要的，只需两边有即可，还有括号应该用半角的，即改进为

可由\$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}\geqslant (\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y})(\frac{x+y}{2})\$算出答案