“提示”是怎么来的？

guanmo1

两个数列 $\an$ 和 $\bn$ 满足 $b_n=\frac{a_1+2 a_2+\cdots+n a_n}{1+2+\cdots+n}$．
求证：（1）若 $\bn$ 为等差数列，数列 $\an$ 也是等差数列；
（2）若 $\an$ 是等差数列，则数列 $\bn$ 也是等差数列．
提示 ：$a_{n+1}-a_n=\frac{3}{2}\left(b_{n+1}-b_n\right)$

其妙

设pn+q试一试行否？

guanmo1

回复 3# 其妙


    那样肯定能证，关键是那个直接得到那个“提示”，直接看出充要性不好搞啊，这个“提示”是通过递推得到的吗？
第1问通过递推不难证明，第2问设An+B，再利用n^2求和的公式能证。问题是那个提示怎么来的呢？

kuing

估计那是乱写的。
容易验证 $a_n=2n^2$, $b_n=n(n+1)$ 满足题目的递推关系，但不满足“提示”的公式。

kuing

\[b_{n+1}=\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n+(n+1)a_{n+1}}{1+2+\cdots+(n+1)}
=\frac{(1+2+\cdots+n)b_n+(n+1)a_{n+1}}{1+2+\cdots+(n+1)},\]
化简得
\[a_{n+1}=\frac{n+2}2b_{n+1}-\frac n2b_n,\]
故
\[a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}2b_{n+1}-\frac{2n+1}2b_n+\frac{n-1}2b_{n-1}
=\frac{n-1}2(b_{n+1}-2b_n+b_{n-1})+\frac32(b_{n+1}-b_n),\]
也就是说当 \bn 等差时会有“提示”的等式，但这顶多也只能用于证明第（1）问啊

guanmo1

回复 6# kuing


    就是这个意思，但第一问不难得到。那个“提示”有乱写之嫌