2015盐城二模

aishuxue

已知 $a_n=\frac{1}{n}$ ，
（1）若等差数列 $b_1, b_2, b_3, \cdots, b_n(m \geqslant 3)$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的一个子数列（按原来顺序），且 $b_1=\frac{1}{k}$ ，求证：$m \leqslant k+1$ ；
（2）等比数列 $c_1, ~ c_2, ~ c_3, \cdots, c_m(m \geqslant 3)$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的一个子数列（按原来顺序），求证：$c_1+c_2+\cdots+c_m \leqslant 2-\frac{1}{2^{m-1}}$ ．

kuing

（1）由 $b_1=1/k$，得 $b_2\leqslant 1/(k+1)$，所以公差
\[d=b_2-b_1\leqslant \frac1{k+1}-\frac1k=-\frac1{k(k+1)},\]
故
\[0<b_m=b_1+(m-1)d\leqslant \frac1k-\frac{m-1}{k(k+1)}=\frac{k+2-m}{k(k+1)},\]
所以 $k+2-m>0$，即 $m\leqslant k+1$；

kuing

（2）设 $c_1=1/k$，则 $c_2\leqslant 1/(k+1)$，所以公比
\[q=\frac{c_2}{c_1}\leqslant \frac k{k+1},\]
故
\begin{align*}
c_1+c_2+\cdots +c_m&=\frac1k(1+q+\cdots +q^{m-1}) \\
& \leqslant \frac1k\left( 1+\frac k{k+1}+\left( \frac k{k+1} \right)^2+\cdots +\left( \frac k{k+1} \right)^{m-1} \right) \\
& =\frac{k+1}k\left( 1-\left( \frac k{k+1} \right)^m \right) \\
& =1+\frac1k-\frac1{\left( 1+\frac1k \right)^{m-1}} \\
& \leqslant 2-\frac1{2^{m-1}}.
\end{align*}

isee

玩似的，看你么一写

kuing

回复 4# isee

本来就是玩啊