2013年北京中考数学几何题太常规，只好看看创新题：第25题

isee

对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $P$ 和 $\odot C$，给出如下定义：若 $\odot C$ 上存在两个点 $A, B$，使得 $\angle A P B=60^{\circ}$，则称 $P$ 为 $\odot C$ 的关联点。
已知点 $D\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), E(0,-2), F(2 \sqrt{3}, 0)$。

• 当 $\odot O$ 的半径为 1 时，
  （1）在点 $D, E, F$ 中，$\odot O$ 的关联点是
  （2）过点 $F$ 作直线 $l$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $G$，使 $\angle G F O=30^{\circ}$，若直线 $l$ 上的点 $P(m, n)$是 $\odot O$ 的关联点，求 $m$ 的取值范围；
• 若线段 $E F$ 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 $r$ 的取值范围。

kuing

一向不太喜欢这种中考大题，题目总是长长的，小问又多……

isee

还好，这个还比较短

isee

• （1）在点 $D, E, F$ 中，$\odot O$ 的关联点是 $D, E$．
  （2）当 $O P=2$ 时，
  过点 $P$ 向 $\odot O$ 作两条切线 $P A, P B$（$A, B$ 为切点），则 $\angle A P B=60^{\circ}$ ．
  $\therefore$ 点 $P$ 为 $\odot O$ 的关联点．
  事实上，当 $0 \leqslant O P \leqslant 2$ 时，点 $P$ 是 $\odot O$ 的关联点；当 $O P>2$ 时，点 $P$不是 $\odot O$ 的关联点．
  $\because F(2 \sqrt{3}, 0)$ ，且 $\angle G F O=30^{\circ}$ ，
  $\therefore \angle O G F=60^{\circ}, O F=2 \sqrt{3}, O G=2 .$
  
  
  
  如图，以 $O$ 为圆心，$O G$ 为半径作圆，设该圆与 $l$ 的另一个交点为 $M$ ．
  当点 $P$ 在线段 $G M$ 上时，$O P \leqslant 2$ ，点 $P$ 是 $\odot O$的关联点；
  当点 $P$ 在线段 $G M$ 的延长线或反向延长线上时，$O P>2$ ，点 $P$ 不是 $\odot O$ 的关联点。
  连接 $O M$ ，可知 $\triangle G O M$ 为等边三角形．
  过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$ ，可得 $\angle M O N=30^{\circ}, O N=\sqrt{3}$ ．
  \[
  \therefore 0 \leqslant m \leqslant \sqrt{3} \text {. }
  \]
• 设该圆圆心为 $C$ ．
  根据（2）可得，若点 $P$ 是 $\odot C$ 的关联点，则 $0 \leqslant P C \leqslant 2 r$ ．
  由題意，点 $E, F$ 都是 $\odot C$ 的关联点，
  \[
  \begin{aligned}
  & \therefore E C \leqslant 2 r, F C \leqslant 2 r . \\
  & \therefore E C+F C \leqslant 4 r .
  \end{aligned}
  \]
  又 $\because E C+F C \geqslant E F$（当点 $C$ 在线段 $E F$ 上时，等号成立），
  \[\therefore 4 r \geqslant E F \text {. }\]
  \[
  \begin{aligned}
  & \because E(0,-2), F(2 \sqrt{3}, 0), \\
  & \therefore E F=4 .
  \end{aligned}
  \]
  \[
  \therefore r \geqslant 1 .
  \]
  事实上，当点 $C$ 是 $E F$ 的中点时，对所有 $r \geqslant 1$ 的 $\odot C$ ，线段 $E F$ 上的所有点都是 $\odot C$ 的关联点．
  综上所述，$r \geqslant 1$ ．

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