不等式

guanmo1

如图

kuing

《数学空间》2011年第4期P24~25中有提及到。

PS、楼主你的图不能裁剪一下么？每次都是下面一大片空白
PS2、题目就那么一行，何不直接输入，贴图都省掉了

kuing

还有，你打漏了变量非负的条件，否则不成立

kuing

顺便就写个推广命题吧：
设 $a_i\geqslant 0$, $i=1$, $2$, \ldots, $n$，且 $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$，记
\[f(a_1,a_2,\ldots,a_n)=a_1a_2\cdots a_n(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2),\]
则
\[f(a_1,a_2,\ldots,a_n)\leqslant n.\]

证明：由于变量的范围均为闭区间，故 $f(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ 必然存在最大值，下面用反证法证明取最大值时必然所以变量相等。

首先显然取最大值时不会有变量为零，现假设取最大值时有两个变量不相等，由对称性不妨设 $a_1\ne a_2$，则
\begin{align*}
&f\left(\frac{a_1+a_2}{2},\frac{a_1+a_2}{2},a_3,\ldots,a_n\right) - f(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)\\
={} & \frac{1}{8}(a_1-a_2)^2a_3a_4\cdots a_n\bigl((a_1-a_2)^2+2(a_3^2+a_4^2+\cdots+a_n^2)\bigr)\\
>{} & 0,
\end{align*}
可见将 $a_1$, $a_2$ 都变成 $(a_1+a_2)/2$ 时原式更大，矛盾，即得证。

其妙

可以证明当$a,b,c > 0$，$a + b + c = 3$时，成立不等式：${a^2}{b^2}{c^2}({a^2} + {b^2} + {c^2}) \leqslant 3$.

kuing

可以证明当$a,b,c > 0$，$a + b + c = 3$时，成立不等式：${a^2}{b^2}{c^2}({a^2} + {b^2} + {c^2}) \leqsl ...
其妙 发表于 2015-4-12 15:53

太逗，abc<=1，这比楼主的题还更弱……

其妙

回复 6# kuing
不会做强的题，那就做弱化的噻，