$p,q$都是素数，$p^q+q^p$也是素数，求$p,q$

abababa

原题是：$p,q$都是素数，$p^q+q^p$也是素数，求$p,q$
容易求出$p$或$q$有一个是$2$，不妨设$q=2$，问题就是$p$是素数，$p^2+2^p$也是素数，求$p$

longzaifei

（1）如果$ p=2 $,显然不符合题意
（2）如果$ p=3 $,显然符合题意
（3）如果$ p\ne 2 $且$ p\ne 3 $,$p$又是素数，有欧拉定理得 $ p^2\equiv 1 \pmod{3} $
       又 $ 2^p\equiv (-1)^p\equiv -1 \pmod{3} $
       所以$ p^2+2^p \equiv 0  \pmod{3} $ 不合题意

abababa

回复 2# longzaifei

谢谢，先要确定$p$只能是$3$，然后还要确定其它的数是要被$3$整除而不是被别的素数整除。不知道这类题有没有什么规律，有些题解法很有技巧，要是有统一的模式来解就好了。

其妙

回复 3# abababa
数论题解法大多没什么规律，每个题解法的特殊性都很强，其方法大多不能很好的移植到其它题去，最多是只能借鉴一下方法吧，所以说数论很考察人的思维，有说数论是数学皇冠上的明珠？