解析几何一题-抛物线上的弦

realnumber

AB是抛物线$y^2=4x$上的弦，且长度为定值$m$,当AB移动时，AB中点到y轴最短距离为2,则m=_________.

利用抛物线定义，以及两边之和大于第三边什么的，可以解得m=6.
以下看代数方法：
设直线AB:$x=ty+b,A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$.
由$\abs{AB}=m$,得$m^2=16(t^2+1)(t^2+b),b=\frac{m^2}{16(t^2+1)}-t^2$,
$x_1+x_2=4t^2+2b=2(t^2+1)+\frac{m^2}{8(t^2+1)}-2\ge m-2$----①  (应该再加分类说明，取不到=的情况。)
又AB中点到y轴最短距离为2，即$x_1+x_2\ge 4$
得$m-2=4$,即$m=6$,此时代回①的取等条件，可得$b=1$.

其妙

也来一道解析几何最值问题：

realnumber

回复 2# 其妙


    $y\sin{\theta}+x\cos{\theta}=1$,是包络线.
又,说成围成的封闭图形好象不好吧.

其妙

回复 3# realnumber
顶顶更健康，