请教：一道数列单调性问题

敬畏数学

数列{an}同时满足下面两个条件(下面小括号内的数均为下标)：
（1）任意正整数n，a（n）+a（n+1）<2a(n+1)
  (2)存在最小的实数M，使得对任意的正整数n都有a(n)<M
证明:数列{an}是单调递增数列.

敬畏数学

第一条错误应为（1）任意正整数n，a（n）+a（n+2）<2a(n+1)

realnumber

不知道这样算不算证明：由第一条即为$a_{n+2}-a_{n+1}<a_{n+1}-a_{n}$
设$b_n=a_{n+1}-a_{n},$即{${b_n}$}单调递减.
显然$a_n=a_1+b_1+\cdots+b_n$
若存在$n_0,b_{n_0}\le 0$,则第2条不成立，
此时$a_n\le min${$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{n_0}$},且等号可以取到.
如此可得对任意n,$b_n>0$,
此时$a_n-a_{n-1}=b_n>0$,所以{$a_n$}为递增数列.

kuing

假设存在 $N$ 使 $a_N\geqslant a_{N+1}$，则由 $a_{n+2}-a_{n+1}<a_{n+1}-a_{n}$ 知数列从第 $N+1$ 项起递减，于是 $a_n$ 存在最大值，所以（2）不成立

其妙

不知道这样算不算证明：由第一条即为$a_{n+2}-a_{n+1}0$,
此时$a_n-a_{n-1}=b_n>0$,所以{$a_n$}为递增数列. ...
realnumber 发表于 2015-4-14 11:40

好像是$a_n=a_1+b_1+\cdots+b_{n-1}$?

敬畏数学

ok!简洁。谢谢！

其妙

再来一道数列的单调性问题：

其妙

回复 7# 其妙
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