求具有下述性质的最大正整数$n$

abababa

求具有下述性质的最大正整数$n$：
对每个$k(2\le k\le n)$，若存在非负整数$a_k,b_k,c_k,d_k$，使得：
$(a_k+b_k)^2+ka_k+b_k=(c_k+d_k)^2+kc_k+d_k$（*）
则有$a_k=c_k,b_k=d_k$

原题如上，我觉得那个“存在非负整数”应该改成“对任意满足（*）的非负整数”，不然只要$a_k=c_k,b_k=d_k$并且都选成非负整数，就肯定是存在了
大家帮看看，是不是我哪里理解错了

abababa

如果是“对任意满足（*）的非负整数”，经过试验，发现当$k=4$时，$a_4=0,b_4=3,c_4=2,d_4=0$这种情况能满足（*），但是此时$a_k=b_k,c_k=d_k$不成立，就是说$k=4$时从（*）不能推出结论，那么如果$n \ge 4$，因为要求对每个$k(2\le k\le n)$，$k$就能取到$4$，不合题意，所以$n$一定是$2$或$3$，就看能不能证明$n=3$了