来自人教群的 $(e^x-1)\ln(x+1)\ge x^2$

kuing

新G学生李(2408****) 9:17:46
\[
\forall x \geqslant 0, \quad\left(e^x-1\right) \ln (x+1) \geqslant x^2
\]
这个怎么证明？

粤A爱好者kuing✈(249533164) 10:57:05
kuing 20:39:04
\[\frac{\ln(x+1)}x\geqslant\frac2{2+x}\geqslant\frac x{e^x-1}\]

敬畏数学

$\ln(x+1)(e^x-1)≥x^2$,其中x≥0
硬求导好几次，已经获知移项后的函数为增。寻求简洁的方法！

kuing

后面那详细证明就懒得写了，纯粹记录一下而已。

敬畏数学

查下相关解答,此解法也很优等！
$\ln(x+1)/x>=x/(e^x-1),$
$x/(e^x-1)=\ln(e^x-1+1)/(e^x-1);$
易知：$e^x-1>x$
所以只需证：y=ln（x+1）/x在x>0为减函数（前面第一小问已经证出）。
请问高手：$e^x>=1+x及e^x>1+x+x*2/2$不难想出；
ln(1+x)<=x也不难，但lnx>=2(1-x)/(1+x)等类反比例函数是如何观察出的？图像？

游客

用反函数和对称性的那个方法的确很强，也很简便。



函数$y=\ln(x+1)$ 和 $y=e^x-1$ 在原点处的切线都是 $y=x$
而它们互为反函数，点$T$在 $y=e^x-1$ 上，$TE \perp x$轴 交$y=x$于$P$，交 $y=\ln(x+1)$  于$E$。$F$是$E$关于$y=x$的对称点。

于是 $k_{OT}\cdot k_{OE}>k_{OF}\cdot k_{OE}=1$，化简即是$\frac{e^x-1}{x} \cdot \frac{\ln (x+1)}{x}>1(x>0)$

hjfmhh

kuing,中间2/(2+x)是如何得到的？求指教

test

回复 4# hjfmhh

你把右边证明一下就知道了

霏霏

2015广东佛山一模

hjfmhh

这个不知证明问题，构造是关键

kuing

我意思是你从右边的证明中就可以知道我是怎么想出来的

其妙

还可以用反函数方法证明

其妙

这里有：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102vhug.html

hjfmhh

在x=0处无定义，为什么还有切线呢

爪机专用

可去间断点

战巡

我觉得可以专门写一贴关于如何找出一些复杂函数的多项式函数上下限

比如$x\ge 0$时
\[x-\frac{x^2}{2}\le \ln(1+x)\le x\]
又比如
\[e^x-1\ge x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\]

hjfmhh

这些是大学泰勒展开

战巡

回复 15# hjfmhh

别老去区分什么高中大学，什么超纲不超纲，知识就是知识，能解决问题就是王道！

Tesla35

$\ln$写的很标准

kuing

回复 17# Tesla35

585好久不来一来就水