以三角形顶点为焦点作椭圆，求证公共弦共点

abababa

以$\triangle A_1A_2A_3$的每两个顶点为焦点作椭圆，椭圆两两相交，交点为$M_iN_i$，其中$i=1,2,3$，求证$M_iN_i$共点

isee

结论倒是美的，退一步，估计都没有愿意做。

kuing

回复 2# isee

圆的话就是那个经典的化为球做的啦

isee

回复 2# isee


    哦，退一步后，三角形顶点是多余的。

isee

回复 3# kuing


    隐隐约约有那么一点点的印象。。。。。。但，模糊了。。。。

战巡

回复 3# kuing


这个我倒是想起来了，那椭圆其实也一样，三个椭球交为一点啊

abababa

圆的情况就是根心定理吧，先设两个根轴的交点，按定义一定在第三条根轴上
椭圆的情况楼上讲的变成球或椭球的看不懂

isee

回复 7# abababa


    根心定理，是这玩意

kuing

这个我倒是想起来了，那椭圆其实也一样，三个椭球交为一点啊 ...
战巡 发表于 2015-4-29 05:05

是不一样的
圆变成球的方法之所以可行，是因为三个球的交线在三个平面上，由三球共点推出三面共点，再由三面均垂直球心所在平面，所以三面共线，从而得到三线共点。
而椭球的话，两椭球的交线未必在一个平面上，情况就不一样，你得先证明存在一种变椭球的方式能使交线在三平面上。

isee

估计用解析几何好说理此，感觉

青青子衿

回复 8# isee
三橢圓定理
三椭圆定理
參考資料:  The Seven Circles Theorem and other New Theorems, p.12.
140.114.32.246/d3/ellipse/ellipse.html

abababa

发一位网友的解答

另外能请版主讲讲圆的情况是怎么变成球来解的吗？想多了解一下

kuing

回复 12# abababa

这个解法得慢慢理解下……

至于圆变球的，大致已经在9#说了，你自己试着理解下先。

kuing

上面的解法还是搞不太懂，三个椭圆并不共点，联立三个方程解出的 $\xi_i$ 是何意义？

kuing

转发网友hejoseph(何万程)的证明
三椭圆问题的证明_hejoseph.pdf (51.83 KB, Downloads: 6355)

2015-5-17 15:54 Upload

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abababa

回复 14# kuing
我觉得$\xi_i$只是一个方便的记号，他的重点是后面的那个方程
$$a_2(\xi_1^2-\xi_2^2)-a_3(\xi_1^2-\xi_3^2)-a_2a_3(a_2-a_3)=0$$
把$\xi_i$用$z$来表示，再用$x,y$来表示，这个方程是$x,y$的一次式，表示直线，他的解法是这条直线就是公共弦，然后在最后用了一条公共弦能用另两条公共弦线性表示，就说是共点了。其实如果最开始就设成$x,y$形式的椭圆可能更清晰，可能是为了打字方便用了复数形式
不过我理解得也不好，最近也见不到他上网了，也没法问

kuing

回复 16# abababa

公共弦那里没问题，我只是觉得“令 p=... 解出 $\xi_i=...$”那里那样写似乎不妥，而且也是多余的，删掉那行以及最后一行，改为你说的“线性表示”就是共点了。

活着＆存在

这个是否可以考虑应用到双曲线上去？
是否可以建立关于椭圆、双曲线的幂的概念？