转人教论坛之圆切线证角平分线

乌贼

如图：$AB,AC$为圆$O$切线，延长$BC$至$D$，使得$BC=3CD$，过$D$作圆$O$的切线$DG$交$AB$于$G$，连接$CG$。求证：$CG$为$\angle ACB$的平分线。

kuing

这就是你上次这贴 forum.php?mod=viewthread&tid=3399 的来源？

乌贼

如图：连接$QO$交$BC$于$M$，$\angle AFM=\angle ABM=\angle ACM$有$ M、F、E、C $
四点共圆，又$ \angle OFE=\angle OCE=90\du  $有$ E、F、C、O $
四点共圆，所以$ M、E、F、C、O $
五点共圆。有$ \angle EMO=\angle EMG=90\du  $
$ EM $与$ OF $交点为$ P $有$ G、M、P、F $
四点共圆，有$ \angle GPM=\angle MFG=\angle ACM, \angle FGP=\angle FMP=\angle ECF\angle EFC\riff GP\px CF $
$ OE $与$ BC $的交点为$ N $，有$ \angle PMN=\angle EFC=\angle ECF=\angle FOE $，有，$ P、M、O、N $
四点共圆，有$ \angle PNM=\angle POM=\angle FCM\riff PN\px GF $有$ G、P、N $
三点共线。又$ GN\px CF\riff GF=2CN=2FN $
延长$ GN $交$ CO $于$ Q $，因为$ \angle MGP=\angle MFO=\angle MCQ $有$ G、M、Q、C $
四点共圆，有$ \angle GCM=\angle GQM $
$ \angle PNM=\angle FCN=\angle CFN=\angle FNG,\angle FGN=\angle  PMN\riff\triangle FGN\sim \triangle PMN\riff PM=2PN=PQ\riff\angle PQM=\angle PMQ\riff\angle GPN=2\angle GQM\riff\angle ACM=2\angle GCM$


期待简洁方法……

乌贼

回复 2# kuing
是的

战巡

回复 3# 乌贼

如图

易证$BG=GF, CE=EF$
梅涅劳斯定理得
\[\frac{AG}{BG}·\frac{BD}{CD}·\frac{CE}{AE}=1\]
\[4·\frac{AG}{GF}=\frac{AE}{EF}\]
\[4·\frac{\sin∠AFG}{\sin∠GAF}=\frac{\sin∠AFE}{\sin∠EAF}\]
\[\sin∠GAF=4\sin∠EAF\]
\[\frac{BH}{CH}=\frac{S△ABH}{S△ACH}=\frac{AB·AH·\sin∠GAF}{AC·AH·\sin∠EAF}=4\]

另一方面：
\[DF^2=CD·BD=4CD^2\]
\[DF=2CD=\frac{2}{3}BC\]
再梅涅劳斯定理得
\[\frac{DH}{BH}·\frac{AB}{AG}·\frac{GF}{DF}=1\]
\[\frac{2}{3}·\frac{GF}{AG}=\frac{DF}{AB}=\frac{\frac{2}{3}BC}{AC}\]
\[\frac{BG}{AG}=\frac{GF}{AG}=\frac{BC}{AC}\]
而后角平分线逆定理可知$CG$为$∠ACB$平分线

isee

如图：连接$QO$交$BC$于$M$，$\angle AFM=\angle ABM=\angle ACM$有$ M、F、E、C $
四点共圆，又$ \angle  ...
乌贼 发表于 2015-4-27 04:11

巡神的方法也有其自已标榜的特点，就像的你的解法一样，一看就大约知道出自谁之手。

偶人教那里（没过程）也是两次Menelaus定理，不过，不用任何辅助线，设线段长，转化成代数式，算算算，最后也是角分线逆定理收场。


人教这三题的确都有个性，搞不好，还真有十分精巧的辅助线……

乌贼

引理

如图：$ AB,AC $为园$ O $的切线，割线$ AE $就园$ O $于$ F,E $，$ D $为$ BC $中点。
         （1）$ \angle FDC=\angle EDC $
         （2）$ \angle FEB=\angle CED $

证明：连接$ AO、OE、OF、OC、FC $，有\[ AD\cdot AO=AC^2=AF\cdot AE\riff \triangle ADF\sim \triangle AEO \]有$ DFEO $四点共圆，即\[ \angle ADF=\angle OEF=\angle OFE=\angle ODE\\\riff \angle FDC=\angle EDC \]又\[AD\cdot DO=DF\cdot DE(\triangle AFD\sim \triangle EOD)\riff\\ AD\cdot DO =DC^2(\triangle ACD\sim \triangle COD)=DF\cdot DE \\\riff \triangle FCD\sim \triangle CED\\\riff\angle CED=\angle FCD=\angle FEB\]

乌贼

回到原题

     连接$ GO、BF $，令其交点为$ P $，再连接$ FC、PC $。有\[ DF^2=CD\cdot BD=4CD^2\riff DF=2CD\\\dfrac{BF}{CF}=\dfrac{BD}{FD}=2\riff FP=FC\riff \angle FPC=\angle FCP=\dfrac{1}{2}\angle ACB \]由上楼引理知\[ \angle GCB=\angle FCP=\dfrac{1}{2}\angle ACB \]