转发某教师群的一道叹号连乘开高次方极限

kuing

【军长】广东-欧阳(2507*****) 21:51:20
求助一个小题

一时也想不出什么好法子……想弄成定积分形式（像处理 (n!)^(1/n)/n 的时候）也没弄成功……

kuing

总算搞出来了，不知这样做有没有问题

\begin{align*}
\sqrt[n^2]{\frac{n!(n-1)!\cdots 2!}{n^n(n-1)^{n-1}\cdots 2^2}}&=\sqrt[n^2]{\frac{n(n-1)^2(n-2)^3\cdots 2^{n-1}}{n^n(n-1)^{n-1}\cdots 2^2}} \\
& =\sqrt[n^2]{n^{1-n}(n-1)^{3-n}(n-2)^{5-n}\cdots 2^{n-3}} \\
& =\exp \left( \frac T{n^2} \right),
\end{align*}
其中
\[T=(1-n)\ln n+(3-n)\ln (n-1)+(5-n)\ln (n-2)+\cdots +(n-3)\ln 2,\]
记数列 $a_k=2k-1-n$, $b_k=\ln (n+1-k)$，再记数列 $a_i$ 的前 $k$ 项和为 $S_k$，则易得 $S_k=k(k-n)$，则由阿贝尔恒等式有
\[T=\sum_{k=1}^n{a_kb_k}=\sum_{k=1}^{n-1}{S_k(b_k-b_{k+1})}+S_nb_n=\sum_{k=1}^{n-1}{k(k-n)\ln \frac{n+1-k}{n-k}}=-\sum_{k=1}^{n-1}{k(n-k)\ln \left( 1+\frac1{n-k} \right)},\]
易证
\[1>(n-k)\ln \left( 1+\frac1{n-k} \right)>1-\frac1{2(n-k)},\]
故
\[-\sum_{k=1}^{n-1}k<T<-\sum_{k=1}^{n-1}{k\left( 1-\frac1{2(n-k)} \right)},\]
化简即得
\[-\frac{n(n-1)}2<T<-\frac{n(n-1)}2+\frac12\sum_{k=1}^{n-1}{\frac k{n-k}}=-\frac{n^2-1}2+\frac n2\sum_{k=1}^{n-1}{\frac1{n-k}},\]
所以
\[\exp \left( -\frac{n-1}{2n} \right)<\sqrt[n^2]{\frac{n!(n-1)!\cdots 2!}{n^n(n-1)^{n-1}\cdots 2^2}}<\exp \left( -\frac{n^2-1}{2n^2}+\frac1{2n}\sum_{k=1}^{n-1}{\frac1{n-k}} \right),\]
由调和级数易见
\[\lim_{n\to\infty}\frac1{2n}\sum_{k=1}^{n-1}{\frac1{n-k}}=0,\]
因此
\[\lim_{n\to\infty}\exp \left( -\frac{n-1}{2n} \right)=\lim_{n\to\infty}\exp \left( -\frac{n^2-1}{2n^2}+\frac1{2n}\sum_{k=1}^{n-1}{\frac1{n-k}} \right)=\exp \left( -\frac12 \right)=\frac1{\sqrt e},\]
故由夹逼定理即得
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac{n!(n-1)!\cdots 2!}{n^n(n-1)^{n-1}\cdots 2^2}}=\frac1{\sqrt e}.\]

kuing

先睡了，明天再检查下有没有错……

战巡

回复 2# kuing


..........

色狼k真暴力......直接霸王硬上弓......

\[\frac{T}{n^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{2i+1}{n}-1)\ln(n-i)\]
由于：
\[\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{2i+1}{n}-1)\ln(n)=(\frac{n^2}{n}-n)\ln(n)=0\]
因此
\[\frac{T}{n^2}=\frac{1}{n}[\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{2i+1}{n}-1)\ln(n-i)-\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{2i+1}{n}-1)\ln(n)]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{2i+1}{n}-1)\ln(1-\frac{i}{n})\]
然后
\[\lim_{n\to \infty}\frac{T}{n^2}=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{2i+1}{n}-1)\ln(1-\frac{i}{n})=\int_0^1(2x-1)\ln(1-x)dx=-[\frac{x^2}{2}+(x-x^2)\ln(1-x)]^1_0=-\frac{1}{2}\]
原式：
\[e^{\lim_{n\to \infty}\frac{T}{n^2}}=e^{-\frac{1}{2}}\]

kuing

回复 4# 战巡

还真让你变成定积分形式了，牛比……
我刚开始就是往这方向想，可惜没变出来，结果只好放缩夹B了……

tommywong

还以为有什么
$\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum_{k=2}^n (n+1-2k)lnk=\frac{1}{n^2}\int_2^n (n+1-2k)lnkdk$
$\displaystyle =\frac{(n+1)(nlnn-n)-n^2lnn+\frac{1}{2}n^2}{n^2}=\frac{-1}{2}$

kuing

回复 6# tommywong

看不懂

tommywong

我只是把离散和跟定积分搞混了而已
$\displaystyle \int_1^n \frac{1}{n+k} dk+\frac{1}{2n} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \le  \int_1^n \frac{1}{n+k} dk+\frac{1}{n+1}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \to  \int_1^n \frac{1}{n+k} dk=ln2$

青青子衿

用O'S公式（O'Stolz公式）也可以求
\[ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\left(k\ln\,\!k-\sum\limits_{i=2}^k\ln\,\!i\right)}{n^2}=\dfrac{1}{2} \]
试试新皮肤
\[
\bbox[#EFF,15px,border:2px solid blue]{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\left(k\ln\,\!k-\sum\limits_{i=2}^k\ln\,\!i\right)}{n^2}=\dfrac{1}{2}}
\]