一道圆锥曲线求更优的解法！

敬畏数学

证明：椭圆$C1：X^2/2+y^2=1$（x不为0）与抛物线$C2:x^2=2py$在公共点（s,t）(t不为0)处的切线互相垂直.（导数及残酷的运算可以解决，求几何味重点的解法！）

战巡

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令$OH=h$
显然有$AH^2=1-\frac{h^2}{2}$
根据椭圆性质，显然$∠F_1AF_2$平分线是与椭圆在$A$点处切线垂直的，只要证明抛物线在$A$点切线$AB$同时也是$∠F_1AF_2$平分线即可
根据抛物线性质，可知$B(\frac{h}{2},0)$
因此：
\[\frac{F_1B}{F_2B}=\frac{1+\frac{h}{2}}{1-\frac{h}{2}}=\frac{2+h}{2-h}\]
另一方面：
\[\frac{AF_1}{AF_2}=\sqrt{\frac{AH^2+F_1H^2}{AH^2+F_2H^2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{h^2}{2}+(1+h)^2}{1-\frac{h^2}{2}+(1-h)^2}}=\frac{2+h}{2-h}=\frac{F_1B}{F_2B}\]
角平分线逆定理可知$AB$平分$∠F_1AF_2$，事情就结了

敬畏数学

高！

敬畏数学

高手太敬佩了！

战巡

回复 4# 敬畏数学


其实即便是解几办法也没你想象的那么复杂
显然过$A(x_0,y_0)$点椭圆切线为
\[\frac{x_0x}{2}+y_0y=1\]
又易证抛物线过$A$点切线过$OH$中点$(\frac{x_0}{2},0)$
很容易证明它们垂直

kuing

回复 5# 战巡

+1+2+585

敬畏数学

就是显然那个结论有点不太想用。当然主要是想找几何做法。

isee

在未出现解析几何之前，圆锥曲线已经被研究得非常透了，解析几何只是研究圆锥曲线的一种手段，并非唯一。
同样的平几也是研究手段之一。

isee

回复 6# kuing


    这几个+号啥意思？

Tesla35

敬畏数学

回复 10# Tesla35
哈哈！Tesla你的解法太牛！

Tesla35

回复 11# 敬畏数学


    转载的。但是你那个问题和这个不一样啊。

敬畏数学

回复 12# Tesla35
不需要完全一样啊。

战巡

回复 10# Tesla35

585你这洛阳铲.......3年前的坟都挖

游客

其妙

回复 15# 游客
你这是平面几何做法，实际上利用法线方程也轻易得到结果吧