求解一函数方程组

青青子衿

007

有两个特解：
$f(x)\equiv -1；f(x)\equiv 2$,
$f(x)=x+\dfrac{1}{x}$.

kuing

回复 2# 007

嗯，用这个应该可以构造出变态解……

kuing

$f(x)=\begin{cases}
-1,&x~\text{是超越数},\\
2,&x~\text{不是超越数},
\end{cases}$

睡神

回复 4# kuing
类似有小小问题吧？$x\ne 0$？
PS:我也来水一个…$f(x)=1，x<0;-1，x>0$
不懂那些神马代码，所以就写成这烂模样了，难看莫怪…

kuing

回复 5# 睡神

x=0没问题啊，第一个函数方程不代x=0，第二个能代

kuing

不懂那些神马代码，所以就写成这烂模样了，难看莫怪…
睡神 发表于 2013-10-2 12:52

分段函数的代码置顶贴里有示例啊。

1. $f(x)=\begin{cases}
2. 表达式1 & 条件1 \\
3. 表达式2 & 条件2 \\
4. ……
5. 表达式n & 条件n
6. \end{cases}$

Copy the Code

其妙

回复 5# 睡神
我来写一下，受kk提示的模板：
$f(x)=\begin{cases}
1， & x<0 \\
-1， & x>0 \\
\end{cases}$

其妙

有两个特解：
$f(x)\equiv -1；f(x)\equiv 2$,
$f(x)=x+\dfrac{1}{x}$.
007 发表于 2013-10-2 08:29

$f(x)=x^k+\dfrac{1}{x^k}$也符合吧？

kuing

嗯，看来连续解也不少。

PS、公式里尽量不用全角符号。

青青子衿

回复 9# 其妙

$f(x)=x^k+\dfrac{1}{x^k}$也符合吧？
其妙 发表于 2013-10-2 16:35

战巡

回复 10# kuing

应该还有更一般的形式

令$g(y)=f(e^y)$，得到
\begin{cases} g(y)=g(-y) \\ g(y)^2=g(2y)+2\end{cases}

可以知道这个东西有一组特解为$g(y)=2\cos(ky)$形式的，其中$k$为任意复数，如果换成实数就有
\begin{cases} g(y)=2\cos(ky) \\ g(y)=2\cosh(ky) \end{cases}
这里$k$为任意实数

换回$f(x)$就有
\begin{cases} f(x)=2\cos(k \ln(x)) \\ f(x)=2\cosh(k \ln(x)) \end{cases}