转人教群之长方体截面上动点轨迹

乌贼

如图：长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=2BC=2BB_1=2$，动点$P$在平面$ACC_1A_1$上，作$ PM\perp AB $于$ M $点，作$ PN\perp A_1D_1 $于$ N $点，若$ PM=PN $，则动点$ P $的轨迹为
$ A $   圆    $ B $ 椭圆   $ C $抛物线  $ D $双曲线  

kuing

呃，你这已经不是“转”了，你都把题目改了……

乌贼

过$ P $作$ EF\px AA_1 $分别交$ AC,A_1C_1 $于$ E,F $，过$ F $作$ FH\perp A_1B_1 $于$ H $，过$ N $作$ NK\px AA_1 $交$ AD $于$ K $，连接$ FN,EM,HM,NK $，在长方体$ AMEK-A_1HFN $中，有\[   A_1N=AK=ME \]得\[ \triangle P_1AN \cong \triangle PEM\]故\[ PE=PA_1 \]
在平面$ ACC_1A_1 $内，动点$ P $到定点$ A_1 $的距离等于其得定直线$ AC $的距离，由抛物线定义知动点$ P $的轨迹为抛物线。

乌贼

回复 2# kuing
，改了就按改了的先作。
原来题目是：若$MN=PC$，有事先走，待会再说……

kuing

回复 3# 乌贼

过$ P $作$ EF\px AA_1 $分别交$ AC,A_1C_1 $于$ E,F $，过$ F $作$ FH\perp A_1B_1 $于$ H $，过$ N $作$ NK\px AA_1 $交$ AD $于$ K $，连接$ FN,EM,HM,NK $，在长方体$ AMEK-A_1HFN $中，有\[   A_1N=AK=ME \]得\[ \triangle P_1AN \cong \triangle PEM\]...
乌贼 发表于 2015-5-12 21:07

不对吧，那个怎么会全等？A1N=ME，PM=PN，但是PM是斜边而PN是直角边，看来你改题反而坑了自己

kuing

闲着也写写原题目的吧，也就是 $MN=PC$ 的。

渝F教师冰糖(3130*****)  17:08:08

老师们，帮看看10题怎么做

作 $PR\perp AC$ 于 $R$，易见 $RM\pqd A_1N$，设 $CR=x$, $PR=y$，则
\[x^2+y^2=PC^2=MN^2=A_1R^2=AA_1^2+AR^2=AA_1^2+(AC-x)^2,\]
所以
\[y^2=AA_1^2+AC^2-2ACx,\]
即为抛物线。