向量

lrh2006

已知O 是三角形ABC 内心，若向量AO=2/5向量AB+1/5向量AC ，则 COS角BAC =?

lrh2006

都没人理我吗？题目太烂了你们都懒得讲？给个链接也好啊先谢谢了！

kuing

你确定 O 是内心而不是外心？

kuing

如果真是内心的话，注意结论 $a\vv{IA}+b\vv{IB}+c\vv{IC}=\bm0$

踏歌而来

这道题可以参考。
zhidao.baidu.com/question/55952488.html?qbl=relate_question_0&am ... CE%B5%C4%D0%D4%D6%CA

lrh2006

回复 3# kuing


    这道题是外心的话，网上答案很多，可是我这个卷子上确实写着是内心，答案是1/4,但是我算不出来。kuing有办法吗？快帮帮我吧！谢谢了！

lrh2006

回复 5# 踏歌而来


    谢谢，我看下先

爪机专用

回复 6# lrh2006
内心的方法见4楼

lrh2006

回复 4# kuing

看到了，我想想先，谢谢！

lrh2006

向量内心的这个结论怎么用，各位能否再指点一下，谢谢！

kuing

回复 10# lrh2006
\begin{gather*}
a\vv{IA}+b\vv{IB}+c\vv{IC}=\bm0,\\
a\vv{IA}+b\vv{IA}+b\vv{AB}+c\vv{IA}+c\vv{AC}=\bm0,\\
b\vv{AB}+c\vv{AC}=(a+b+c)\vv{AI},\\
\vv{AI}=\frac b{a+b+c}\vv{AB}+\frac c{a+b+c}\vv{AC},
\end{gather*}

kuing

不用那个结论也可以，直接从几何关系推出很简单。

如图，有
\[AM=\frac{MF}{\sin A}=\frac r{\sin A}=\frac{2S}{(a+b+c)\sin A}=\frac{bc}{a+b+c},\]
所以
\[\frac{AM}{AB}=\frac b{a+b+c},\]
另一边同理，于是也就得到
\[\vv{AI}=\frac b{a+b+c}\vv{AB}+\frac c{a+b+c}\vv{AC}.\]

kuing

或者这样更好看些。

如图，有
\[\frac{AM}{AB}=\frac{MF}{BH}=\frac{IE}{BH}=\frac{\S{AIC}}{\S{ABC}}=\frac{br}{(a+b+c)r}=\frac b{a+b+c},\]
于是……

lrh2006

回复 13# kuing


    对kuing，除了钦佩还是钦佩，除了感谢还是感谢......

敬畏数学

就是平面向量的分解。过O作OD平行AC交AB于点D。从而知b=2c.AO=4/5*c*cos(A/2)连接OB。在三角形AOB中有：c/sin((A+B)/2)=OA/sin(B/2),化简得：
4/5sin（A+B)/2*COSA/2=sinB/2,展开两边乘以2cosB/2，得a=2c。于是a=b=2c，所以cosA=1/4.