转几何吧之正方形求证线段等于边长

乌贼

tieba.baidu.com/p/3763861269

   如图：正方形$ ABCD $中，点$ M $为$ DA $延长线上一点，连接$ BM $，过点$ C $作$ CN\px BM $交$ AD $于点$ N $，在$ CD $延长线上取一点$ F $使得$ BM=CF-DN $，连接$ BF $，交$ CN $于点$ E $。求证：$ CE=BC $

战巡

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如图，作$∠DNC$平分线$NG$

由角平分线定理得：
\[\frac{CN}{CG}=\frac{DN}{DG}=\frac{CN+DN}{CG+DG}=\frac{CF}{CD}=\frac{CF}{BC}\]
又$∠BCD=∠NDC=90\du$
故有：
\[∠F=∠DNG=\frac{∠DNC}{2}=\frac{∠BCN}{2}\]
过$C$作$BF$垂线$CH$，易证$∠BCH=∠F=\frac{∠BCN}{2}$，而后有
\[△BCH≌△ECH\]
\[CE=BC\]

乌贼

回复 2# 战巡
\[ \angle F=\angle DNG \]这一步没看懂

乌贼

转几何吧glennzyh的解答
在$CD$上取一点$P$，使$CP=DN$，易证
$ \triangle BCP\cong CDN $，进而$ BP=CN=PF $，$ \angle NCD=\angle PBC , \angle BFP=\angle PBF,
\angle EBC=\angle FBP+\angle PBC=∠BFP+\angle DCN=\angle BEC\riff BC=EC$

战巡

回复 3# 乌贼


你没注意那个连等式里面都存在什么，可能是我没把顺序写好，没有强调第二步用到其中哪个等式
那个里面有：
\[\frac{DN}{DG}=\frac{CF}{BC}\]

踏歌而来

回复 4# 乌贼

如果N在DA的延长线上，也成立吧？

乌贼

回复 6# 踏歌而来
一样成立。

活着＆存在