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话说最近白天事儿特别多，基本上只有深夜才能静下来玩题，刚才翻到群聊记录里下午有这一段
津X教师Mike(3061*****) 15:42:43
已知a,b,c∈R+，且a^4+b^4+c^4=3，求证：∑1/(4-bc)≤1
津X教师Mike(3061*****) 17:31:14
单老师只用了平均值不等式
当 $x\leqslant 2$ 时，有
\[\frac{5+x^2}{18}-\frac1{4-x}=\frac{(2-x)(x-1)^2}{18(4-x)}\geqslant 0
\riff \frac1{4-x}\leqslant \frac{5+x^2}{18},\]
由于 $bc\leqslant \sqrt{(b^4+c^4)/2}\leqslant \sqrt{3/2}<2$ 等，因此有
\[\sum\frac1{4-bc}\leqslant \sum\frac{5+b^2c^2}{18}\leqslant \sum\frac{5+a^4}{18}=1.\]
由上述证明我们还可以看出，正数的条件是不需要的，实数即可。 |
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Tesla35
posted 2016-8-31 01:05
