圆锥曲线一小题+

hongxian

已知 $P$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左顶点．如果存在过点 $M\left(x_0, 0\right),\left(x_0>0\right)$ 的直线交椭圆于 $A, ~ B$ 两点，使得 $S_{\triangle A O B}=2 S_{\triangle A O P}$ ，则 $x_0$ 的取值范围为(1,2)
变圆好象可以，不知有没有其它方法，谢谢了！

kuing

变圆有什么用？

转化与化归

取 $x_0=\sqrt{5}+1, \quad M(\sqrt{5}+1,0), A\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right), B(0,1)$，此时 $S_{\triangle A O B}=2 S_{\triangle A O P^{+}}$
条件完整吗？

hongxian

回复 2# kuing

$OA$的长度可以变成定值

活着＆存在

活着＆存在

x=4/(1+3OG/OA)

活着＆存在

x=4/(OG/OA-1)

乌贼

如图，$ B $为椭圆上任一点，$ O_1(4,0) $，四边形$ O_1OAC$与四边形$O_1OBD $为平行四边形，$ BA $延长线交$ x $轴于$ M $，$ DO $延长线交椭圆于$ A_1 $，$ BA_1 $交$ x $轴于$ M_1 $，有\[ \triangle BCA\sim \triangle BO_1M \]得\[ 0<\dfrac{BC}{BO_1}=\dfrac{AC}{O_1M} <\dfrac23\]\[ OM>2 \]又\[ \triangle A_1M_1O \sim \triangle A_BD\]得\[ \dfrac14<\dfrac{OM_1}{DB}=\dfrac{A_1O}{AD} <\dfrac12\]\[ 1<OM_1<2 \]
综上$ X_0 $的取值范围$ (1,2) \cup (2,\infty ) $

乌贼

回复 8# 乌贼
\[ S_{\triangle O_1OA}=S_{\triangle BOA}=2\cdot S_{\triangle POA} \]\[ S_{\triangle O_1OA_1}=S_{BOA_1}=2\cdot S_{POA_1} \]

hongxian

变圆一：
变圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{4}=1$,$Q(4,0)$,$M(m,0)$,$BQ\px OA\Longrightarrow\triangle MOA\sim\triangle MQB\Longrightarrow\dfrac{QB}{OA}=\dfrac{QM}{OM}\Longrightarrow QB=\dfrac{2(4-m)}{m}\in(2,6)\Longrightarrow m\in(1,2)$
变圆二：
变圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{4}=1$,$Q(-4,0)$,$M(m,0)$,$BQ\px OA\Longrightarrow\triangle MOA\sim\triangle MQB\Longrightarrow\dfrac{QB}{OA}=\dfrac{QM}{OM}\Longrightarrow QB=\dfrac{2(4+m)}{m}\in(2,6)\Longrightarrow m\in(2,+\infty )$

kuing

各种牛笔

活着＆存在