一个数列题

转化与化归

称实数列 $a_0, a_1, \cdots$ 为＂好数列＂，若其同时满足以下三个条件：
（a）$a_0$ 为正整数；
（b）对任意非负整数 $i$，有
\[
a_{i+1}=2 a_i+1 \text { 或 } a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2} \text {. }
\]
（c）存在正整数 $k$，使得 $a_k=2014$．
求最小的正整数 $n$，使得存在好数列 $a_0, a_1, \cdots$，且 $a_n=2014$．

活着＆存在

若 $a_{m+1}>1$ ，则 $a_{m+1}=2 a_{m}+1$ ，即 $a_{m}=\frac{a_{m+1}-1}{2}$；若 $0<a_{m+1}<1$，则 $a_{a_{m}+1}=\frac{a_{m}}{a_{m}+2}$ ，即 $a_{m}=\frac{2 a_{m+1}}{1-a_{m+1}}$。将数列 $\an$ 倒序，构成数列 $\bn$，即 $b_m=a_{n-m}(m=0,1,2, \ldots, n)$，则：
\[
\begin{aligned}
& \text { 当 } b_m>1 \text { 时, } b_{m+1}=\frac{b_m-1}{2} ; \text { 当 } 0<b_m<1 \text { 时, } b_{m+1}=\frac{2 b_m}{1-b_m} ; b_0=a_n=2014, b_n=a_0 \inN^*  \\
& 1+2+4+\ldots+2^9+2^{10} b_{10}=2014 \Rightarrow b_{10}=\frac{991}{1024}, b_{11}=\frac{991 \times 2}{33}=60+\frac{2}{33} ; \\
& 1+2+4+8+16+32 b_{16}=60+\frac{2}{33} \Rightarrow b_{16}=\frac{959}{1056}, b_{17}=\frac{1918}{97}=20-\frac{22}{97} ; \\
& 1+2+4+8+16 b_{21}=20-\frac{22}{97} \Rightarrow b_{21}=\frac{463}{1552}, b_{22}=\frac{926}{1089}, b_{23}=\frac{1852}{163} ;
\end{aligned}
\]
这样硬算不是办法，先编个简单程序把 n 算出来，再找找特点吧。

活着＆存在

比如：若 $\frac{m}{n} \in(0,1)$ 是最简分数，$\frac{2 \times \frac{m}{n}}{1-\frac{m}{n}}=\frac{2 m}{n-m}=\frac{2 n}{n-m}-2$ 为正整数，则：$n-m=1$ 或 2 。即 $n=m+1$ 或 $n=m+2$ 或 $n=3 m+1$ 或 $n=3 m+2$ 或 $\ldots \ldots$ ，即：$\frac{m}{n}=\frac{m}{\left(2^k-1\right) m+1}$ 或 $\frac{m}{\left(2^k-1\right) m+2}$ 。只有 $\frac{m}{\left(2^k-1\right) m+1}$ 能变化成为正整数 $2^k m, \frac{m}{\left(2^k-1\right) m+2}$ 能变化成为正整数 $2^{k-1} m$ 。观察分子与分母看到：$\left[\left(2^k-1\right) m+1\right]+m=2^k m+1,\left[\left(2^k-1\right) m+2\right]+m=2^k m+2$ ，而 $991+1024=959+1056=463+1552=2015$。

活着＆存在

无论是 $\frac{\frac{m}{n}-1}{2}=\frac{m-n}{2 n}$ 还是 $\frac{2 \times \frac{m}{n}}{1-\frac{m}{n}}=\frac{2 m}{n-m}$ ，都能得到 $m+n=(m-n)+2 n=2 m+(n-m)$。
即：一个分数可写成分子与分母之和永不变的形式。
\[
2014=\frac{2014}{1}, m+n=(m-n)+2 n=2 m+(n-m)=2015 \text { 。 }
\]

活着＆存在

\[
\text { 若 } a_k=\frac{m}{n} \text {, 则 } a_{k+1}=\frac{2 m}{n}+1=\frac{2 m+n}{n} \text { 或 } a_{k+1}=\frac{\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}+2}=\frac{m}{2 n+m} \text { 。 }
\]
无论哪种变化，都可以使变化后的分子与分母之和变为原来的 2 倍。而最终要得到2015，应该只能一直是 2015，不能变小
应该要有$2^k×m+2=2015$（不可能）或 $2^k×m+1=2015$
k=1,m=1007
\[
\begin{aligned}
& b_0=2014, ~b_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}
\frac{b_{n}-1}{2}\left(~b_{n}>1\right) \\
\frac{2 b_{n}}{1-b_{n}}\left(0<b_{n}<1\right)
\end{array}\right. \text { 求数列的最小正周期。 } \\
& a_0=2014, a_1=\frac{2014}{2014+2}=\frac{1007}{1008}, a_2=2 a_1+1=\frac{1511}{504}, a_3=2 a_2+1=\frac{1763}{252}, \\
& a_4=2 a_3+1=\frac{1889}{126}, a_5=2 a_4+1=\frac{1952}{63}, a_6=\frac{a_5}{a_5+2}=\frac{1952}{2078}=\frac{976}{1039},
\end{aligned}
\]
如果每次出现的分母都不一样，那么最小正周期就是2014。然而 2015 的约数不符合条件，否则分子与分母之和会变小。 $2015=5 \times 13 \times 31$ 的约数中除 1 和本身一共还有 6 个。
估计 2014－6＝2008。

转化与化归

回复 5# 活着＆存在
这种题的解答书写起来是很麻烦的事！