2015年安徽卷理科第10题：三角函数

isee

正是周末，看到群里有试卷，先抛砖咯……

2015年安徽卷第10题：

isee

文字如下（看不太清， 不过，大方向不会错了）：

安徽卷理科第10题：

已知函数$f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)$($A,\omega,\varphi$均为正的常数)的最小正周期为$\pi,$当$x=\dfrac {2\pi}3$时，函数$f(x)$取得最小值，则下列结论正确的是

    A. $f(2)<f(-2)<f(0)$
    B.……



iC个人简解：由已知，容易得到$f(x)=A \sin (2x+\varphi)$.

又依题设，不防令$A=1$，则解析式可以简化为$f(x)=\sin (2x+\varphi)$.

又$f\left(\dfrac {2\pi}3\right)_\min=-1$(且最小正周期为$\pi$)，$\dfrac {2\pi}3 \in \left(0,\pi\right)$.

于是有$$2\cdot\dfrac {2\pi}3+\varphi=\dfrac {3\pi}2\Rightarrow \varphi=\frac \pi6>0$$


从而$f(x)=\sin \left(2x+\dfrac \pi 6\right)$.


下面的过程不用写了，结果是 $$f(2)<f(-2)<f(0)$$







事实上，上面的解析式跟A一样，并不需要，iC个人又解：



最小正周期为$\pi$，$f\left(\dfrac {2\pi}3\right)_\min(=-A)$，

则$x=\dfrac {2\pi}3$为$f(x)$的对称轴，则与其紧相邻从左至右的另三条对称轴为 \[x=-\frac {5\pi}6,-\frac \pi3,\frac \pi6.\]

且$\left(\dfrac \pi6,\dfrac {2\pi}3\right)$为其递减区间，于是$\left(-\dfrac \pi3,\dfrac \pi6 \right)$为其递增区间



“排排坐” \[-\frac {5\pi}6<-2<-\frac \pi3<0<\frac \pi6<2<\frac {2\pi}3.\]


由对称性，从对称轴"强制"将变量转化到同一单调区间上：\[f(-2)=f\left(-\frac \pi3 \cdot 2+2\right)=f\left(\frac {6-2\pi}3\right) .\]

\[f(2)=f\left(\frac \pi6 \cdot 2-2\right)=f\left(\frac {\pi-6}3\right) .\]

再排一下：\[-\frac \pi3<\frac {\pi-6}3<\frac {6-2\pi}3<0<\frac \pi6.\]

也就是说明了\[f(2)=f\left(\frac {\pi-6}3\right)<f\left(\frac {6-2\pi}3\right)=f(-2)<f(0).\]

isee

当然，iC借助粗略图象来写的区间，及采用哪条对称轴了……这肯定要数形结合的……

其妙

这里有安徽的全部试题：
安徽理科：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102vk84.html
安徽文科：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102vk85.html

渔舟

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